Giải thích cách giải thích theo cấp độ của Gurvits cho bài viết của Deolalikar

[Lưu ý: Tôi tin rằng câu hỏi này không hề ảnh hưởng đến tính chính xác hay không chính xác của bài viết của Deolalikar.]

Trên blog của Scott Aaronson Shtetl Tối ưu hóa , trong cuộc thảo luận về nỗ lực gần đây của Deolalikar trên P vs NP, Leonid Gurvits đã đưa ra nhận xét sau :

Tôi đã cố gắng để hiểu / cải tổ cách tiếp cận, và đây là nỗ lực của tôi, có lẽ rất tối giản: các phân phối xác suất rời rạc trong bài báo có thể được xem như là tenxơ, hoặc đa thức rất đặc biệt. Các giả định trong nhà P = NP bằng cách nào đó đưa ra một giới hạn trên (đa thức?) Trên bậc thang. Và cuối cùng, bằng cách sử dụng các kết quả xác suất đã biết, anh ta sẽ không bị ràng buộc (hàm mũ?) Bị ràng buộc thấp hơn trên cùng một cấp bậc. Nếu tôi đúng, thì sự chấp thuận này là một cách rất thông minh, theo nghĩa cơ bản, là cách thúc đẩy các phương pháp đại số-hình học trước đây.

Bất chấp những sai sót đáng ngờ / đã biết trong bằng chứng của Deolalikar, tôi tò mò:

Bằng cách nào các bản phân phối được thảo luận trong bài báo của Deolalikar có thể được coi là tenxơ, và làm thế nào để các tuyên bố về kết quả của anh ấy (bất kể tính chính xác của chúng) chuyển thành các tuyên bố về thứ hạng tenor như thế nào?

[Tôi đã đọc một cái gì đó tôi nghĩ là hoàn toàn không liên quan và sau đó có một "khoảnh khắc aha" vì vậy tôi nghĩ rằng tôi đã tìm ra ít nhất một phần của câu trả lời. Tôi không chắc đây có phải là những gì Gurvits có trong đầu không, nhưng điều này có ý nghĩa với tôi.]

Một phân phối trên n biến nhị phân có thể được xem như là một yếu tố của sản phẩm tensor R 2 ⊗ ⋯ ⊗ R 2 (n yếu tố) (trên thực tế không gian xạ liên quan, nhưng chúng tôi sẽ nhận được để mà). Nếu chúng ta dán nhãn các yếu tố cơ bản của từng bản sao của R 2 bằng | 0 ⟩ và | 1 $x_1,...,x_n$$\mathbb{R}^2 \otimes \dotsb \otimes \mathbb{R}^{2}$$\mathbb{R}^2$$|0\rangle$$|1\rangle$, sau đó một cơ sở của không gian sản phẩm tenxơ này được đưa ra bởi tập hợp tất cả các chuỗi n-bit. Nếu chúng ta có một phần tử của sản phẩm tenxơ này có hệ số tổng bằng 1, thì chúng ta có thể hiểu hệ số của bất kỳ chuỗi n bit nào là xác suất của chuỗi đó xảy ra - từ đó, phân phối xác suất! Bây giờ, vì chúng tôi chỉ muốn phân phối xác suất (hệ số tổng bằng 1), chúng tôi có thể bình thường hóa bất kỳ vectơ nào trong sản phẩm tenor để có thuộc tính đó. Bằng cách chỉ xem xét các tenxơ chuẩn hóa, chúng tôi thực sự chỉ xem xét các yếu tố của không gian chiếu của sản phẩm tenor này.

Bây giờ chúng ta phải kết nối thứ hạng tenor với khái niệm về khả năng đa hình của Deolalikar. Theo trang này bởi Terry Tao, dường như khái niệm về polylog-parametrizability Deolalikar là rằng việc phân phối có thể được "nhân tố trong tiềm năng" như μ ( x 1 , . . . , X n ) = Π n i = 1 p i ( x i ; x p a ( i ) ) trong đó pa (i) là một tập hợp các biến polylog (n), được định nghĩa là "cha mẹ của i" và$\mu$$\mu(x_1,...,x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i ; x_{pa(i)})$ là phân phối trên x i chỉ phụ thuộc vào các biến cha này. Hơn nữa, đồ thị theo hướng của cha mẹ nên có tính chu kỳ.$p_i( - ; x_{pa(i)})$$x_i$

$\mu$$\mu(x_1, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i)$$p_i$$p_i$$x_i$$(p_1(0)|0\rangle + p_1(1)|1\rangle) \otimes \dotsb \otimes (p_n(0)|0\rangle + p_n(1)|1\rangle)$

$x_{2i} = 1 - x_{2i+1}$$i$$O(1)$$(|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle) \otimes \dotsb \otimes (|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle)$$2^{n/2}$$2^{n/2}$$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2$$O(n)$$O(1)$$O(n)$$2^n$

Tôi vẫn gặp khó khăn khi xây dựng hai vấn đề và sẽ đánh giá cao câu trả lời thêm về chúng:

• Làm cho sự tương ứng chính xác
• Viết ra các công thức cho tenxơ tương ứng với phân phối polylog-parametrizable và nhận được giới hạn trên về thứ hạng của nó.