Đại diện chính thức của các vòng trong tính toán

Trong khi đọc một bài báo về việc sử dụng các phương pháp đại số để phát hiện một số sơ đồ con cảm ứng, có vẻ như lý tưởng cạnh là một công cụ quan trọng kết nối đại số giao hoán và lý thuyết đồ thị. Vì tôi không quen thuộc với các tính toán của các đối tượng đại số, nên có tài liệu tham khảo hay sách nào về chủ đề này không? Tính đặc biệt trong việc biểu diễn vòng R trên máy Turing và độ phức tạp của việc quyết định các thuộc tính cơ bản trên R (giả sử, chiều cao của một lý tưởng chính trong R.)

Các câu hỏi của bạn có liên quan đến một lĩnh vực (không có ý định chơi chữ) được gọi là "Đại số máy tính". Bản thân tôi đã tìm kiếm các khảo sát toàn diện khi tôi đang nghiên cứu các phương pháp đại số để tính toán các số liệu trung tâm đồ thị khác nhau. Tôi không thể tìm thấy các cuộc khảo sát tốt, nhưng cuốn sách này là một phần hữu ích. Các tài liệu nghiên cứu về "chủ đề" này nằm rải rác khắp nơi và thường không được phân loại rõ ràng là "đại số máy tính". Đọc các bài viết thuật toán về đẳng cấu, bao thanh toán (số nguyên / đa thức) và thuật toán đồ thị dựa trên phép nhân ma trận có thể cung cấp cho bạn nhiều thông tin chi tiết hơn.

Theo hiểu biết tốt nhất của tôi:

1. Nếu bạn đọc về giới hạn thấp hơn trong một số mô hình tính toán đại số, thì giả định thông thường là các hoạt động vòng hoặc trường có chi phí không đổi , đó là chúng được đưa ra dưới dạng nguyên thủy. Đây là giả định được đưa ra ở một trong những nguồn chính về chủ đề: Burgisser, Clausen, Shokrollahi- lý thuyết phức tạp đại số (Springer, 1997). (Và đây là những gì được mô hình hóa bởi các mạch đại số chẳng hạn.)

2. Khi một người nói về giới hạn trên , đối với các câu hỏi tiêu chuẩn về độ phức tạp đại số, như khi nghiên cứu các quy trình kiểm tra nhận dạng đa thức, thì giả định tiêu chuẩn là các phép toán vòng hoặc trường có thể được tính trong đa thời gian. Điều này có nghĩa là người ta làm việc trên các số nguyên hoặc trên các số hữu tỷ và dễ dàng tìm thấy một sơ đồ mã hóa cho phép tính toán hiệu quả các hoạt động cơ bản như vậy.

3. Đối với các mục đích khác mà tôi biết, liên quan đến các mô hình đại số, cách biểu diễn vòng hoặc trường là một câu hỏi thực sự và đôi khi không có cách nào hiệu quả để làm như vậy, và thậm chí có thể có những câu hỏi không thể giải quyết được. Các tài liệu tham khảo mà tôi biết bao gồm các loại câu hỏi này là cuốn sách mà Shiva Kintali đã đưa ra, và cả: Đại số thuật toán , Bhubaneswar Mishra, Springer 1993: Chương 3 đề cập đến các cách để thể hiện các vòng nhất định.

Những cuốn sách đáng quan tâm khác có thể là: Zur Gathen và Jurgen Gerhard, Đại số máy tính hiện đại , Cambridge, 1999. Và có thể Victor Shoup, Giới thiệu tính toán về Lý thuyết số và Đại số , (Có sẵn trực tuyến).

Bạn cũng có thể gặp may mắn với các từ khóa 'đại số giao hoán tính toán' và 'hình học đại số tính toán.' Hãy thử CLO như một điểm khởi đầu, và xem J. Tính toán tượng trưng, ​​và các hệ thống như Macaulay2 và Singular và các tài liệu tham khảo chúng. Cái búa lớn là Gr \ "căn cứ obner, tính toán sẽ giải quyết nhiều vấn đề đại số, nhưng nói chung là trường hợp xấu nhất theo cấp số nhân nói chung.