Hàm đơn điệu ngẫu nhiên

Trong bài viết Bằng chứng tự nhiên của Razborov-Rudich , trang 6, trong phần họ thảo luận rằng có "bằng chứng mạnh mẽ chống lại các mô hình mạch đơn điệu " và cách chúng phù hợp với hình ảnh, có những câu sau:

Ở đây, vấn đề không phải là tính xây dựng - các tính chất được sử dụng trong các bằng chứng này đều khả thi - nhưng dường như không có sự tương tự chính thức tốt nào về điều kiện lớn. Cụ thể, không ai đưa ra định nghĩa khả thi về "hàm đơn điệu ngẫu nhiên".

Không dễ để phân biệt các đầu ra của hàm đơn điệu với một chuỗi ngẫu nhiên phải không? Không phải sự tồn tại của những kẻ mạnh đã nói với chúng ta rằng không có những thứ đó sao?

Câu hỏi của tôi là:

Ý nghĩa của một "hàm đơn điệu ngẫu nhiên" nghĩa là gì?

Tôi không chắc chắn, nhưng tôi nghĩ rằng vấn đề ở đây là thực tế là chúng ta không có bất kỳ giả định mạnh mẽ nào về các trình tạo hàm đơn điệu giả ngẫu nhiên (ít nhất là không có gì tôi biết). Ý tưởng về bằng chứng trong bài báo Razborov-Rudich như sau:

nếu có một tính chất tự nhiên của các hàm (nghĩa là một thuộc tính có thể quyết định hiệu quả, chứa một tập hợp hàm đủ lớn và ngụ ý rằng hàm đó cần các mạch lớn), thì nó có thể được sử dụng để phá vỡ các hàm tạo giả ngẫu nhiên (phá vỡ cả các bộ tạo giả ngẫu nhiên và một chức năng -way).

Nếu chúng ta định nghĩa lại định lý về các hàm đơn điệu và mạch đơn điệu, chúng ta muốn nói

nếu có một tính chất tự nhiên của các hàm đơn điệu (nghĩa là một thuộc tính có thể quyết định hiệu quả, chứa một tập hợp con đủ lớn của các hàm đơn điệu và ngụ ý rằng hàm này cần các mạch đơn điệu lớn ), thì nó có thể được sử dụng để phá vỡ các hàm tạo giả ngẫu nhiên (phá vỡ cả các hàm giả ngẫu nhiên máy phát điện và chức năng một chiều),

nhưng bây giờ bằng chứng từ bài báo dừng hoạt động, bởi vì trình tạo giả ngẫu nhiên của chúng ta tạo ra các hàm chung, không nhất thiết là các hàm đơn điệu và chúng ta không thể sử dụng thuộc tính tự nhiên của mình để phá vỡ nó, bởi vì ngay cả một tập hợp con các hàm đơn điệu tương đối lớn sẽ không lớn Các hàm chung, đối với tập hợp các hàm đơn điệu, bản thân nó không lớn so với tập hợp tất cả các hàm ( http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_number ). Chúng ta có thể định nghĩa một số trình tạo hàm đơn điệu giả và sử dụng thuộc tính tự nhiên để phá vỡ nó, nhưng có lẽ chúng ta sẽ không có sự tương đương giữa trình tạo này và các hàm một chiều, vì vậy định lý sẽ không thú vị lắm.

Có lẽ khó khăn này có thể được khắc phục (nhưng tôi không nghĩ rằng nó xuất phát từ bằng chứng trong bài báo một cách đơn giản) và có thể vấn đề với các chức năng đơn điệu nằm ở một nơi khác. Tôi thực sự muốn một người có kinh nghiệm hơn tôi xác nhận câu trả lời của tôi hoặc cho thấy tôi sai ở đâu.