Yêu cầu tham khảo: Tối thiểu hóa mô đun và các hàm Boolean đơn điệu

Bối cảnh: Trong học máy, chúng ta thường làm việc với các mô hình đồ họa để biểu diễn các hàm mật độ xác suất chiều cao. Nếu chúng ta loại bỏ ràng buộc mà mật độ tích hợp (tổng) thành 1, chúng ta sẽ có được một hàm năng lượng có cấu trúc đồ thị không chuẩn hóa .

Giả sử chúng ta có hàm năng lượng như vậy, , được xác định trên biểu đồ . Có một biến cho mỗi đỉnh của đồ thị và có các hàm unary và cặp có giá trị thực, và , tương ứng. Năng lượng đầy đủ là sau đóG = ( V , E ) x θ i ( x i ) : i ∈ V θ i j ( x i , x j ) : i j ∈ $E$$G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})$$x$$\theta_i(x_i) : i \in \mathcal{V}$$\theta_{ij}(x_i, x_j) : ij \in \mathcal{E}$

$$E(\mathbf{x}) = \sum_{i \in \mathcal{V}} \theta_i(x_i) + \sum_{ij \in \mathcal{E}} \theta_{ij}(x_i, x_j)$$

Nếu tất cả là nhị phân, chúng ta có thể nghĩ về một như chỉ ra tư cách thành viên và chỉ với một sự lạm dụng thuật ngữ nhỏ nói về tính chất con. Trong trường hợp này, một hàm năng lượng là mô đun con iff . Chúng tôi thường quan tâm đến việc tìm kiếm cấu hình giảm thiểu năng lượng, . x θ i j ( 0 , 0 ) + θ i j ( 1 , 1 ) ≤ θ i j ( 0 , 1 ) + θ i j ( 1 , 0 ) x * = arg min x E ( x$x \in \mathbf{x}$$x$$\theta_{ij}(0, 0) + \theta_{ij}(1, 1) \le \theta_{ij}(0, 1) + \theta_{ij}(1, 0)$$\mathbf{x}^* = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$

Dường như có một mối liên hệ giữa việc giảm thiểu hàm năng lượng mô đun con và các hàm boolean đơn điệu: nếu chúng ta giảm năng lượng của một số cho bất kỳ x_i nào (nghĩa là tăng mức độ ưu tiên của nó thành "true"), thì tối ưu gán bất kỳ biến x_i ^ * \ in \ mathbf {x} ^ * chỉ có thể thay đổi từ 0 thành 1 ("false" thành "true"). Nếu tất cả \ theta_i bị giới hạn là 0 hoặc 1, thì chúng ta có | \ mathcal {V} | chức năng boolean đơn điệu:$\theta_i(x_i=1)$$x_i$$x_i^* \in \mathbf{x}^*$$\theta_i$$|\mathcal{V}|$

$$f_i(\mathbf{\theta}) = x_i^*$$

trong đó như trên, $\mathbf{x^*} = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$ .

Câu hỏi: Chúng tôi có thể biểu diễn tất cả các hàm boolean đơn điệu bằng cách sử dụng thiết lập này bằng cách thay đổi các điều khoản theo cặp, $\theta_{ij}$ không? Điều gì xảy ra nếu chúng ta cho phép $E$ là một hàm năng lượng dưới cơ thể tùy ý? Ngược lại, chúng ta có thể biểu diễn tất cả các vấn đề tối thiểu hóa mô đun dưới dạng một tập hợp $|\mathcal{V}|$chức năng boolean đơn điệu?

Bạn có thể đề xuất các tài liệu tham khảo sẽ giúp tôi hướng tới sự hiểu biết tốt hơn về các kết nối này? Tôi không phải là nhà khoa học máy tính lý thuyết, nhưng tôi đang cố gắng để hiểu liệu có những hiểu biết sâu sắc về các hàm boolean đơn điệu không được nắm bắt bằng cách suy nghĩ trong các thuật ngữ tối thiểu hóa mô đun.

Theo như tôi hiểu, trường hợp tối thiểu hóa mô hình con nắm bắt tất cả những gì cần nói về trường hợp Boolean đơn điệu, và các hàm Boolean mô đun con nhị phân có thể biểu thị tất cả các hàm Boolean mô đun con. Tuy nhiên, nếu tên miền không phải là Boolean, thì các hàm mô đun con nhị phân không đủ để thể hiện tất cả các hàm con, ngay cả khi các biến ẩn có thể được đưa vào. (Xin lỗi nếu tôi đã bỏ lỡ một sự tinh tế trong cách diễn đạt vấn đề chính xác của bạn.)

Tình trạng của nghệ thuật được thảo luận trong bài báo hay này có rất nhiều liên kết đến công việc liên quan, và điều đó cũng làm cho các liên kết đến tầm nhìn máy tính khá rõ ràng:

• Stanislav ivný, David A. Cohen, Peter G. Jeavons, Sức mạnh biểu cảm của các hàm nhị phân nhị phân , DAM 157 3347 Ném3358, 2009. doi: 10.1016 / j.dam.2009.07.001 ( in trước )

Trong trường hợp câu hỏi tiếp theo của bạn là về xấp xỉ, bài báo gần đây này xem xét phiên bản gần đúng:

• Dorit S. Hochbaum , Các vấn đề cơ bản - xấp xỉ và thuật toán , arXiv: 1010.1945

Chỉnh sửa: liên kết cố định.