Tại sao đồ thị Ramanujan được đặt theo tên của Ramanujan?

Gần đây tôi đã dạy các nhà mở rộng, và đưa ra khái niệm về đồ thị Ramanujan. Michael Forbes đã hỏi tại sao họ được gọi theo cách này và tôi phải thừa nhận rằng tôi không biết. Bất kỳ ai?

Để thêm một số nội dung vào câu trả lời ở đây, tôi sẽ giải thích ngắn gọn về phỏng đoán của Ramanujan là gì.

Trước hết, phỏng đoán của Ramanujan thực sự là một định lý, được chứng minh bởi Eichler và Igusa. Đây là một cách để nêu nó. Đặt biểu thị số lượng các giải pháp tích phân cho phương trình bậc hai . Nếu , tất nhiên được chứng minh bởi Legendre, nhưng Jacobi đã đưa ra con số chính xác: . Không có gì chính xác tương tự được biết đến với m lớn hơn nhưng Ramanujan đã phỏng đoán ràng buộc: r_m (n) = c_m \ sum_ {d \ mid n} d + O (n ^ {1/2 + \ epsilon}) cho mọi \ epsilon> 0 , Trong đó c_m là hằng số chỉ phụ thuộc vào m$r_m(n)$$x_1^2 + m^2 x_2^2 + m^2 x_3^2 + m^2 x_4^2 = n$$m=1$$r_m(n) > 0$$r_1(n) = 8 \sum_{d \mid n, 4 \not \mid d} d$$m$$r_m(n) = c_m \sum_{d \mid n} d + O(n^{1/2 + \epsilon})$$\epsilon > 0$$c_m$$m$.

Lubtozky, Phillips và Sarnak đã xây dựng các bộ mở rộng của họ dựa trên kết quả này. Tôi không quen thuộc với các chi tiết của phân tích của họ, nhưng ý tưởng cơ bản, tôi tin rằng, là xây dựng một đồ thị Cayley của $PSL(2,Z_q)$ cho một số nguyên tố $q$ rằng $1 \bmod 4$ , sử dụng máy phát điện được xác định bởi mỗi tổng hợp của phân rã hình vuông của $p$ , trong đó $p$ là phần dư bậc hai modulo $q$ . Sau đó, họ liên kết các giá trị riêng của biểu đồ Cayley này với $r_{2q}(p^k)$ cho các số nguyên $k$ .

Một tài liệu tham khảo, ngoài chính bài viết của Lubotzky-Phillips-Sarnak, là mô tả ngắn gọn của Noga Alon trong Công cụ từ Đại số cao hơn .

Wikipedia cung cấp câu trả lời này khá kịp thời. Trích dẫn

Các cấu trúc của đồ thị Ramanujan thường là đại số. Lubotzky, Phillips và Sarnak chỉ ra cách xây dựng một họ vô hạn của đồ thị Ramanujan , bất cứ khi nào là số nguyên tố. Bằng chứng của họ sử dụng phỏng đoán Ramanujan , dẫn đến tên của đồ thị Ramanujan.$p+1$$p = 1 \mod 4$

Bài báo được đề cập là đồ thị Ramanujan A. Lubotzky, R. Phillips và P. Sarnak, COMBINATORICA Tập 8, Số 3 (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799.