Độ cứng của xấp xỉ giả sử NP! = CoNP

Hai trong số các giả định phổ biến để chứng minh độ cứng của kết quả gần đúng là và Phỏng đoán trò chơi duy nhất. Có bất kỳ độ cứng của kết quả xấp xỉ giả N P ≠ c o N P ? Tôi đang tìm kiếm một vấn đề A sao cho "thật khó để xấp xỉ A trong một yếu tố α trừ khi N P = c o N P ".$P \neq NP$$NP \neq coNP$$A$$A$$\alpha$$NP = coNP$

Được biết, "hiển thị hệ số độ cứng NP cho bài toán vectơ ngắn nhất sẽ ngụ ý rằng N P = c o N P ". Lưu ý rằng đây là "đối diện" của những gì tôi đang tìm kiếm.$n$$NP = coNP$

Làm rõ: Có thể và câu hỏi P vs NP vẫn mở. Tôi đang tìm độ cứng của kết quả xấp xỉ mà sẽ trở thành sai nếu N P = c o N P nhưng không bị ảnh hưởng (tức là, vẫn còn là một phỏng đoán) bởi P ≠ N P .$NP=coNP$$NP=coNP$$P \neq NP$

Đây là một quan sát đơn giản. Nếu bạn giả sử , thì có thể dễ dàng nhận thấy có những vấn đề tối ưu hóa N P thậm chí không có thuật toán xấp xỉ không điều kiện tốt , theo một nghĩa nào đó.$NP \neq coNP$$NP$

Ví dụ, định lý PCP nói rằng bạn có thể dịch SAT vào vấn đề phân biệt cho dù của các điều khoản được thỏa mãn và tất cả các điều khoản được thỏa mãn, đối với một số ε > 0 . Giả sử có một thuật toán không đơn định mà có thể phân biệt giữa hai trường hợp này, theo nghĩa là các thuật toán không đơn định có thể báo cáo trong mỗi con đường tính toán hoặc "tất cả hài lòng" hoặc "tối đa là 1 - ε ", và nó nói "tại hầu hết 1 - lon hài lòng, nếu không nó nói "tất cả hài lòng" trong mọi đường tính toán nếu tất cả các phương trình có thể được thỏa mãn. Điều này đủ để quyết định SAT trong c o N P ,$1-\varepsilon$$\varepsilon > 0$$1-\varepsilon$ "trong một số đường dẫn nếu tối đa là 1 - $1-\varepsilon$$1-\varepsilon$$coNP$ . Có vẻ như rõ ràng rằng sự tồn tại của một thuật toán không đơn định như vậy không có mang về cho dù P = N P .$NP=coNP$$P = NP$

Đó là khá đáng tin cậy rằng một kịch bản "tự nhiên" tồn tại: một bài toán tối ưu mà khó có thể xấp xỉ trong xác định thời gian đa thức dưới nhưng không biết là cứng dưới P ≠ N P . (Đây có lẽ là điều bạn thực sự muốn hỏi.) Nhiều độ cứng của kết quả gần đúng được chứng minh đầu tiên theo một giả định mạnh mẽ hơn (ví dụ N P không trong thời gian phụ, hoặc N P không ở B P P ). Trong một số trường hợp, những cải tiến sau suy yếu giả định cần thiết, đôi khi xuống đến P ≠ $NP \neq coNP$$P \neq NP$$NP$$NP$$BPP$ . Vì vậy, hy vọng rằng có một câu trả lời thỏa đáng hơn cho câu hỏi của bạn hơn câu hỏi này. Thật khó có thể ngạc nhiên như thế nào có thể có một vấn đề màkhông thểđược chứng minh khó có thể xấp xỉ trong polytime xác định dưới P ≠ N P , nhưng nócó thểđược chứng minh cứng dưới N P ≠ c o N P . Điều đó có nghĩa là N P ≠ c o N P cho chúng ta biết điều gì đó về các tính toán xác định mà P ≠ N P chưa nói; bằng trực giác, điều này là khó nắm bắt.$P \neq NP$$P \neq NP$$NP \neq coNP$$NP \neq coNP$$P \neq NP$

Tuyên bố từ chối trách nhiệm: đây không phải là một câu trả lời trực tiếp.

Trên thực tế có nhiều điều kiện độ cứng khác ngoài P! = NP và UGC. David Johnson đã viết một cột tuyệt đẹp cho các Giao dịch trên Thuật toán vào năm 2006 về chính xác vấn đề này. Ông liệt kê ra rất nhiều giả định khác nhau được sử dụng để thể hiện độ cứng và cách chúng liên quan đến nhau.

Thật không may, đây là tất cả các lớp NP so với các lớp xác định (ngoại trừ NP và co-AM). NP vs co-NP hoàn toàn không được bảo hiểm.

là một giả thuyết mạnh hơn P ≠ N P kể từ N P ≠ c o N P ngụ ý P ≠ N P . Vì vậy, bất kỳ độ cứng nào của kết quả gần đúng giả sử P ≠ N P cũng sẽ tuân theogiả định N P ≠ c o N $NP \ne coNP$$P \ne NP$$NP\ne coNP$$P\ne NP$$P\ne NP$$NP\ne coNP$

Đây không phải là một câu trả lời trực tiếp

$\prod_2^P$$NP \ne coNP$$NP$$\prod_2^P$

Noga Alon, hạn chế màu sắc của đồ thị