Phiên bản nhân của 3-SUM

Những gì được biết về độ phức tạp thời gian của vấn đề sau đây, mà chúng ta gọi là 3-MUL?

Cho một tập $S$ của $n$ số nguyên, ở đó các yếu tố $a,b,c\in S$ mà $ab=c$ ?

Bài toán này tương tự như bài toán 3-SUM, hỏi xem có ba phần tử $a,b,c\in S$ sao cho $a+b+c=0$ (hoặc tương đương $a+b=c$ ). 3-SUM được phỏng đoán yêu cầu thời gian bậc hai xấp xỉ bằng $n$ . Có một phỏng đoán tương tự cho 3-MUL không? Cụ thể là 3-MUL được biết là 3-SUM khó?

Lưu ý, độ phức tạp thời gian nên áp dụng trong mô hình tính toán "hợp lý". Ví dụ, chúng ta có thể giảm từ 3-SUM trên một tập hợp $S$ 3-MUL trên thiết lập $S'$ , nơi mà $S'=\{2^x\mid x\in S\}$ . Sau đó, một giải pháp cho 3-Mul, $2^a\cdot 2^b=2^c$ , tồn tại khi và chỉ khi $a+b=c$ . Tuy nhiên, sự bùng nổ theo cấp số nhân của các con số có tỷ lệ rất tệ với các mô hình khác nhau, như mô hình RAM chẳng hạn.

Việc bạn giảm từ $3$ SUM xuống còn $3$ MUL hoạt động với một sửa đổi tiêu chuẩn nhỏ. Giả sử số nguyên ban đầu của bạn là trong { $1,\ldots,M$ }. Sau khi biến đổi $x\rightarrow 2^x$ các số nguyên mới nằm trong { $2,\ldots,2^M$ }. Chúng tôi sẽ giảm phạm vi.

Xem xét bất kỳ ba của số nguyên trong tập mới S ' . Số lượng các ước nguyên tố của bất kỳ khác không một b - c là < 2 M . Số lượng bộ ba như vậy là n 3 . Do đó số lượng các số nguyên tố q mà chia ít nhất một trong những một b - c khác không số là tại hầu hết 2 M n 3 .$a,b,c$$S'$$ab-c$$<2M$$n^3$$q$$ab-c$$2Mn^3$

Hãy là tập hợp những người đầu tiên 2 M ⋅ n 4 số nguyên tố. Số nguyên tố lớn nhất có kích thước nhiều nhất là O ( M n 4 log M n ) . Chọn một số nguyên tố ngẫu nhiên p ∈ P . Với xác suất cao p sẽ không chia bất kỳ khác không một b - c , vì vậy chúng tôi có thể đại diện cho mỗi một ∈ S ' bởi dư lượng của nó, mod p , và nếu 3 MUL tìm thấy một số một b = c trong $P$$2M\cdot n^4$$O(Mn^4\log Mn)$$p\in P$$p$$ab-c$$a\in S'$$p$$3$$ab=c$ , Với khả năng cao nó sẽ đúng cho bản gốc 3 SUM dụ. Chúng tôi đã giảm phạm vi của các con số xuống { 0 , Mạnh , O ( M n 4 log M n ) }.$S'$$3$$0,\ldots, O(Mn^4\log Mn)$

(Đây là một kích thước tiêu chuẩn giảm Bạn có thể có thể làm tốt hơn bằng cách xem xét thực tế là. luôn khác biệt của hai cường quốc của 2 .)$ab-c$$2$

Bạn đã thử giảm trong đó ? Kết quả là số thực, do đó bạn phải làm tròn đến một số chữ số. Để đảm bảo rằng các số thêm chính xác mặc dù làm tròn bạn có thể cần thêm một chút nhiễu ngẫu nhiên.M = max S - phút $S'=\{2^{x/M}|x\in S\}$$M=\max S− \min S$