Một đặc tính độ sâu cố định của

Đây là một câu hỏi về độ phức tạp của mạch. (Định nghĩa ở phía dưới.)

Yao và Beigel-Tarui đã chỉ ra rằng mỗi họ mạch có kích thước có một họ mạch tương đương có kích thước ở độ sâu hai , trong đó cổng đầu ra là hàm đối xứng và cấp thứ hai bao gồm của cổng của fan hâm mộ . Đây là một "sự sụp đổ độ sâu" khá đáng chú ý của một họ mạch: từ mạch sâu 100, bạn có thể giảm độ sâu xuống còn 2, chỉ với một cú đánh đa thức (và một cổng ưa thích nhưng vẫn bị hạn chế ở trên cùng).$ACC^0$$s$$s^{poly(\log s)}$$AND$$poly(\log s)$

Câu hỏi của tôi: có cách nào được biết để thể hiện một họ mạch , tương tự không? Tham vọng hơn, một gia đình mạch thì sao? Câu trả lời tiềm năng sẽ có dạng: "Mỗi mạch kích thước có thể được công nhận bởi một gia đình sâu hai kích thước , nơi cổng ra là một chức năng của loại và mức độ thứ hai của cổng có loại " .$TC^0$$NC^1$$TC^0$$s$$f(s)$$X$$Y$

Nó không có được chiều sâu hai, bất kỳ loại kết quả cố định chuyên sâu sẽ rất thú vị. Chứng minh rằng mọi mạch có thể được biểu diễn ở độ sâu 3 bằng một mạch chỉ bao gồm các cổng chức năng đối xứng sẽ rất thú vị.$TC^0$

Một số quan sát nhỏ:

1. Nếu , câu trả lời là tầm thường đối với bất kỳ hàm Boolean nào (chúng ta có thể biểu thị bất kỳ hàm nào dưới dạng của s). Để cụ thể, hãy yêu cầu .$f(n)=2^n$$OR$$2^n$ $AND$$f(n) = 2^{n^{o(1)}}$

2. Câu trả lời cũng không đáng kể nếu hoặc được phép là một hàm tùy ý có thể tính toán được trong ... :) Tôi rõ ràng quan tâm đến các hàm "đơn giản hơn", bất kể điều này có nghĩa là gì. Đó là một chút trơn trượt để xác định bởi vì có những họ chức năng đối xứng không thể tính toán được. (Có những ngôn ngữ đơn nhất không thể tính toán được.) Nếu bạn thích, bạn có thể chỉ cần thay thế và bằng các hàm đối xứng trong câu lệnh, tuy nhiên tôi sẽ quan tâm đến bất kỳ lựa chọn gọn gàng nào khác của cổng.$X$$Y$$TC^0$$X$$Y$

(Bây giờ cho một số hồi ức ngắn gọn về ký hiệu:

$ACC^0$ là lớp được công nhận bởi một họ các mạch không có độ sâu không giới hạn với các cổng , và cho hằng số không phụ thuộc vào kích thước mạch. Một cổng trả về nếu tổng các đầu vào của nó chia hết cho .$AND$$OR$$MOD_m$$m > 1$$MOD_m$$1$$m$

$TC^0$ là lớp được nhận dạng bởi các mạch có độ sâu không đổi với các cổng của quạt không giới hạn.$MAJORITY$

$NC^1$ là lớp được nhận dạng bởi các mạch có độ sâu logarit với các cổng , , của quạt vào giới hạn.$AND$$OR$$NOT$

Được biết, khi kích thước mạch bị giới hạn là đa thức về số lượng đầu vào.)$ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

Đây là một bản mở rộng nhẹ của bình luận của tôi cho câu trả lời của Boaz. Agrawal, Allender và Datta trong bài báo của họ Trên , và Mạch số học$TC^0$$AC^0$ đưa ra một đặc điểm của$TC^0$$A$$TC^0$$f$$\sharp AC^0$$k$

$x \in A$$f(x) = 2^{|x|^k}$

$\sharp AC^0$$Z$$x_i$$1-x_i$

Cho rằng, như Boaz chỉ ra trong câu trả lời của mình, có một sự giảm độ sâu không tầm thường cho các mạch số học, đây có thể là một cái gì đó để xem xét.

$NC^1$

$f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$$O(\log n)$$O(n)$$g$$NC_0[n^{\epsilon}]$$f$$2^{n-o(n)}$$f$$g$$NC^1$