Độ phức tạp bit thực của phép nhân ma trận là

Phép nhân ma trận bằng cách sử dụng kỹ thuật thông thường (hàng - cột bên trong) lấy phép nhân và phép cộng . Tuy nhiên, giả sử các mục có kích thước bằng nhau (số bit trong mỗi mục nhập của cả hai ma trận được nhân) với kích thước m bit, hoạt động bổ sung thực sự xảy ra trên các bit O (n ^ {3} nm) = O (n ^ {4} m) .O ( n 3 ) m O ( n 3 n m ) = O ( n 4 m $O(n^{3})$$O(n^{3})$$m$$O(n^{3}nm) = O(n^{4}m)$

Vì vậy, có vẻ như độ phức tạp thực sự của phép nhân ma trận nếu được đo thông qua độ phức tạp bit sẽ là $O(n^{4})$ .

$(1)$ Điều này có đúng không?

Giả sử nếu người ta tạo ra một thuật toán làm giảm độ phức tạp của bit thành $O(n^{3+\epsilon})$ chứ không phải là tổng số nhân và bổ sung, thì đây có thể là một cách tiếp cận hợp lý hơn là giảm tổng số nhân và bổ sung cho $O(n^{2+\epsilon})$ như cố gắng của các nhà nghiên cứu như Coppersmith và Cohn.

$(2)$ Đây có phải là một đối số hợp lệ?

Không, độ phức tạp bit của phép nhân ma trận trên các mục nhập -bit là , trong đó là số mũ nhân ma trận được biết đến nhiều nhất. Phép nhân và cộng số -bit có thể được thực hiện trong lần. Nhân hai số -bit mang lại một số có không quá bit. Thêm số bit mỗi bit, tạo ra một số không có nhiều hơn bit. (Hãy nghĩ về nó: tổng số nhiều nhất là , vì vậy biểu diễn bit không mất nhiều hơnn ω ( log n ) O ( 1 ) ⋅ M ( log M ) O ( 1 ) ω < 2.4 M M ( log M ) 2 M 2 M n M M + log n + O ( 1 ) n 2 M log ( n 2 M ) + O ( 1 $M$$n^{\omega} (\log n)^{O(1)} \cdot M (\log M)^{O(1)}$$\omega < 2.4$$M$$M (\log M)^2$$M$$2M$$n$$M$$M+\log n+O(1)$$n 2^M$$\log (n 2^M)+O(1)$ chút ít.)

Tham khảo các thuật toán nhân số nguyên nhanh có thể được tìm thấy với một tìm kiếm trên web hoặc wikipedia.