Độ phức tạp của hex với thứ tự lần lượt ngẫu nhiên.

Tôi đã nghĩ về một biến thể của hex , trong đó thay vì hai người chơi thực hiện các bước di chuyển xen kẽ, mỗi lượt một người chơi được chọn ngẫu nhiên sẽ di chuyển. Làm thế nào là khó khăn để xác định cơ hội cho mỗi người chơi chiến thắng? Vấn đề này rõ ràng là ở PSPACE, nhưng không thể là NP-hard, hoàn thành ít PSPACE hơn. Những khó khăn đến từ việc tính ngẫu nhiên khiến người chơi không thể bị buộc phải đưa ra lựa chọn trong số các lựa chọn; Nếu người chơi đó may mắn, anh ta có đủ số lần di chuyển, hãy chọn cả hai tùy chọn và nếu người chơi không may mắn, đối thủ sẽ có đủ số lần di chuyển để chặn cả hai tùy chọn. Mặt khác, tôi không thể nghĩ ra bất kỳ thuật toán đa thức thời gian nào cho việc này.

cc.complexity-theory board-games

— Itai Bar-Natan
nguồn

Đặt S là chuỗi nhị phân n-bit đại diện cho người chơi nào đang thực hiện lần lượt. Trong trường hợp xấu nhất, bạn khôi phục trò chơi hex tiêu chuẩn nếu chuỗi ngẫu nhiên là 010101 ... hoặc 101010 .... Vì vậy, vấn đề của bạn ít nhất cũng khó như hex tiêu chuẩn.

— Mohammad Al-Turkistany

Có hai cách giải thích về trò chơi này. (1) Ngay trước mỗi lượt chơi, người chơi lật một đồng xu để xác định ai sẽ đi tiếp. (2) Khi bắt đầu của trò chơi, các cầu thủ lật một đồng xu

lần (trên một kích thước

tàu), và sử dụng chuỗi này đến lượt họ. Turkistany dường như đang giả định mô hình (2); câu hỏi ban đầu không rõ ràng, nhưng từ một số từ ngữ của anh ấy, tôi đoán Itai đang hỏi về (1), có thể dễ hơn hex tiêu chuẩn.

n^{2}

$n^2$

n

$n$

— Peter Shor

Thật vậy, ý tôi là cách giải thích đầu tiên, rằng đồng xu được lật ngay trước khi di chuyển. Ngoài ra, tôi nhận thấy một sự mơ hồ khác trong câu hỏi của tôi: độ chính xác mà tôi muốn biết xác suất. Mặc dù ấn tượng tôi để lại khi hỏi vấn đề là tôi muốn biết xác suất chính xác hoàn toàn, nhưng tôi chỉ muốn biết xác suất trong độ chính xác logarit. Giống như sự khác biệt giữa PP và BPP, sau này có vẻ hữu ích và tự nhiên hơn.

— Itai Bar-Natan

@Itai: Một câu hỏi khác. Tại sao bạn cho rằng điều này rõ ràng là trong PSPACE? Dường như với tôi rằng đây là một trò chơi được giới thiệu, điều đó có nghĩa là giới hạn trên của lý thuyết phức tạp tự nhiên là EXPTIME. Xem Feige và Kilian, "Làm cho trò chơi ngắn."

— Peter Shor

@tukistany Vô dụng KHÔNG ngụ ý tầm thường!

— Jeffε

Bạn có thể muốn xem bài báo "Trò chơi quay vòng ngẫu nhiên và các trò chơi lựa chọn khác" của Yuval Peres, Oded Schramm, Scott Sheffield và David Wilson. Từ phần giới thiệu:

"Hex quay ngẫu nhiên giống như Hex thông thường, ngoại trừ thay vì luân phiên, người chơi tung đồng xu trước mỗi lượt để quyết định ai sẽ đặt viên đá tiếp theo. Mặc dù Hex thông thường rất khó phân tích, chiến lược tối ưu cho Random -Turn Hex hóa ra rất đơn giản. "

Vì vậy, thực sự, trực giác của bạn đã đúng: điều này sẽ ở trong BPP (hoặc có thể là P).

— Peter Shor
nguồn

Tôi chỉ ngạc nhiên khi mọi người thực sự đã làm việc này :) Tham khảo tốt đẹp!

— Suresh Venkat

Đó là một bằng chứng thực sự tốt đẹp quá. Tôi nghĩ rằng tôi đã nghe Scott Sheffield đề cập đến nó trong một trong những cuộc nói chuyện của anh ấy (nhưng sau đó tôi hoàn toàn quên nó cho đến khi nó bật lên trên Google).

— Peter Shor

Ngoài ra, trang web của David Wilson thực sự có một ứng dụng cho phép bạn chơi Hex biến ngẫu nhiên (theo chiến lược đã được công bố của họ, tôi tin): dbwilson.com/#software

— Andy Drucker

Trong chuyến thăm Israel vừa qua, lấy cảm hứng từ bài báo của PSSW, Oded Schramm và tôi đã chơi một vài ván cờ ngẫu nhiên để nhận ra rằng đó không phải là một trò chơi đặc biệt thú vị.

— Gil Kalai

Nó chỉ ra rằng có một mối liên hệ đáng chú ý (do David Richman) giữa các trò chơi rẽ ngẫu nhiên và trò chơi đấu thầu , nơi người chơi trả giá cho bước tiếp theo; xem arxiv.org/pdf/0812.3677.pdf và users.math.yale.edu/~sp547/pdf/Discittle-bidding-games.pdf Kết nối này cho phép chơi đấu thầu Hex tối ưu, sử dụng công việc của Peres et al. Tôi thích điều này bởi vì các trò chơi đấu thầu, ít nhất là bề ngoài, không có may mắn, và tôi nghĩ rằng đấu thầu Hex sẽ thỏa mãn hơn khi chơi so với Hex quay ngẫu nhiên. (Tuy nhiên, đấu thầu mỗi lượt có thể là một nhiệm vụ đòi hỏi điên rồ.)

— Andy Drucker