Các trò chơi được giới thiệu với tiền bán riêng không tương thích

Tôi đã (và vẫn còn) thực sự quan tâm đến câu trả lời cho câu hỏi này, bởi vì đây là một biến thể thú vị về sự phức tạp của các trò chơi chưa được giải quyết, vì vậy tôi đã đưa ra một khoản tiền thưởng. Tôi nghĩ rằng câu hỏi ban đầu rất khó, vì vậy tôi đã đăng ba câu hỏi liên quan cũng xứng đáng với tiền thưởng. Không ai đăng bất kỳ câu trả lời trước khi tiền thưởng hết hạn. Sau đó tôi đã có thể trả lời hai trong số các câu hỏi liên quan (câu hỏi 3 và 4, được thảo luận bên dưới bài đăng gốc của tôi), cho thấy rằng gần đúng giá trị của các trò chơi được giới thiệu với các đồng tiền bán riêng tương quan (được xác định bên dưới) đã hoàn tất EXPTIME. Câu hỏi ban đầu vẫn chưa được trả lời. Tôi cũng quan tâm đến bất kỳ kết quả nào khi đưa các trò chơi liên quan giữa PSPACE và EXPTIME vào các lớp phức tạp thú vị.

BÀI VIẾT GỐC:

Câu hỏi này được lấy cảm hứng từ cuộc thảo luận về câu hỏi hex của Itai . Một trò chơi trọng tài là một trò chơi mà hai người chơi tính toán vô biên chơi bằng cách giao tiếp thông qua một thời gian đa thức xác minh những người có thể lật đồng tiền tư nhân (do đó số lượng lượt và lượng thông tin liên lạc cũng là thời gian đa thức giáp). Vào cuối của trò chơi, trọng tài chạy một thuật toán trong P để xác định ai là người chiến thắng. Việc xác định ai thắng trò chơi như vậy (thậm chí xấp xỉ) là hoàn thành EXPTIME. Nếu bạn có tiền công khai và giao tiếp công cộng, những trò chơi như vậy có trong PSPACE. ( Xem Feige và Killian, "Làm cho trò chơi ngắn." ) Câu hỏi của tôi liên quan đến ranh giới giữa hai kết quả này.

• Câu hỏi: Giả sử bạn có hai người chơi không tính toán, chơi một trò chơi có độ dài đa thức. Vai trò của trọng tài bị giới hạn, trước mỗi lần di chuyển, cung cấp cho mỗi người chơi một số lần lật đồng xu riêng (không tương thích với người chơi khác). Tất cả các động thái của người chơi đều công khai và do đối thủ của anh ta nhìn thấy - thông tin riêng tư duy nhất là lật đồng xu. Vào cuối của trò chơi, tất cả các lần lật đồng xu riêng tư được tiết lộ và trọng tài đa thời gian sử dụng các lần lật đồng xu này và di chuyển của người chơi để quyết định ai là người chiến thắng.

  Theo kết quả của các trò chơi được giới thiệu, gần đúng xác suất người chơi đầu tiên thắng là trong EXPTIME, và nó cũng rõ ràng là PSPACE-hard. Mà (nếu một trong hai) là nó? Có bất cứ điều gì được biết về vấn đề này?

Lưu ý rằng người chơi có thể phải sử dụng các chiến lược hỗn hợp, vì bạn có thể chơi các trò chơi ma trận tổng bằng không (a la von Neumann) theo cách này.

VẬT LIỆU THÊM:

Chúng ta hãy gọi lớp RGUSP phức tạp này (tất cả các ngôn ngữ có thể được rút gọn thành Trò chơi được giới thiệu với Tiền xu Semiprivate không được mô tả như mô tả ở trên, nếu , người chơi 1 thắng với xác suất và nếu , người chơi 1 thắng với xác suất ). Ba câu hỏi liên quan của tôi là:x ∈ L ≥ 2 / 3 x ∉ L ≤ 1 /$L$$x \in L$$\geq 2/3$$x \notin L$$\leq 1/3$

• Câu hỏi 2: RGUSP có vẻ khá mạnh mẽ. Ví dụ: nếu chúng tôi thay đổi trò chơi để trọng tài không gửi tin nhắn mà chỉ quan sát các tin nhắn công khai của người chơi 1 và 2 và nhận được tin nhắn riêng tư từ họ, thì giá trị của trò chơi này vẫn tương đương với RGUSP. Tôi muốn chứng minh rằng RGUSP rất mạnh mẽ, vì vậy tôi sẵn sàng trao tiền thưởng cho bất kỳ ai tìm thấy lớp C phức tạp tự nhiên để PSPACE C RGUSP, trong đó không có phần chính xác nào xuất hiện.$\subseteq$$\subseteq$

• Câu hỏi 3: Tôi cũng nghi ngờ mạnh mẽ rằng lớp RGCSP (Các trò chơi được giới thiệu với Tiền xu tương quan) đã hoàn tất, và tôi cũng sẵn sàng đưa tiền thưởng cho ai đó chứng minh sự thật này. Trong RGCSP, ở bước đầu tiên, trọng tài cung cấp cho hai người chơi các biến ngẫu nhiên tương quan (ví dụ: anh ta có thể cho người chơi đầu tiên một điểm trong mặt phẳng chiếu lớn và người chơi thứ hai có một điểm chứa điểm này). Sau này, đối với số vòng đa thức, hai người chơi thay phiên gửi cho nhau các tin nhắn công khai có kích thước đa chiều. Sau khi trận đấu đã diễn ra, trọng tài nhiều lần quyết định ai thắng. Độ phức tạp của xấp xỉ xác suất chiến thắng cho người chơi 1 là gì?

• Câu hỏi 4: Cuối cùng, tôi có một câu hỏi có thể thực sự là về mật mã và phân phối xác suất: Việc cung cấp khả năng thực hiện chuyển giao một cách lãng quên cho hai người chơi trong một trò chơi được giới thiệu với các đồng tiền bán riêng không tương thích cho phép họ chơi một trò chơi được giới thiệu tùy ý với các đồng tiền tương ứng (hoặc cách khác, nó có cho phép họ chơi một trò chơi xác định người chiến thắng hoàn thành EXPTIME không)?

Tôi không thể trả lời câu hỏi ban đầu của mình, nhưng tôi có thể trả lời câu hỏi 3 (và 4) mà tôi đã thêm khi tôi đưa ra một khoản tiền thưởng vì tôi nghĩ rằng câu hỏi ban đầu có thể quá khó. Trong thực tế, tôi có hai bằng chứng của câu hỏi 3.

Đây là cài đặt cho câu hỏi 3: Chúng tôi có một trọng tài thời gian đa thức, ở đầu trò chơi, cung cấp cho người chơi 1 và 2 biến ngẫu nhiên tương quan. Người chơi 1 và 2 sau đó chơi trò chơi, không có bất kỳ sự can thiệp nào từ trọng tài. Kết thúc trò chơi, trọng tài nhìn qua bảng điểm và quyết định ai thắng. Tôi có thể chỉ ra rằng việc quyết định ai thắng trò chơi như vậy là hoàn thành EXPTIME, ngay cả khi bạn được hứa rằng người chiến thắng sẽ thắng với xác suất ít nhất là .$2/3$

======== Bằng chứng 1 ============

Bằng chứng đầu tiên sử dụng thực tế là chuyển giao lãng quên là phổ biến cho tính toán hai bên an toàn. Do đó, nếu người chơi 1 và 2 có thể thực hiện chuyển giao lãng quên, họ có thể mô phỏng trọng tài thời gian đa thức tùy ý, do đó, kết quả trước đó mà các trò chơi được giới thiệu là hoàn thành EXPTIME có thể được áp dụng.

Bây giờ, để đạt được 1-2 lần chuyển nhượng lãng quên, vào đầu trận đấu, trọng tài cho hai cầu thủ một số lượng lớn "hộp chuyển nhượng lãng quên". Chúng tôi mô tả một trong những hộp chuyển giao lãng quên. P1 nhận được hai số ngẫu nhiên, và . P2 nhận được một trong những số ngẫu nhiên này, và biến ( hoặc ) cho biết số ngẫu nhiên nào của P1 mà anh ta nhận được. Để thực hiện chuyển giao một cách lãng quên, P1 lấy hai phần dữ liệu anh ta muốn chuyển và XOR là chúng với vàr 2 r i i = 1 2 r 1 r $r_1$$r_2$$r_i$$i$$=1$$2$$r_1$$r_2$. P2 sau đó có thể giải mã một trong số này, nhưng P1 không thể biết P2 nào có thể giải mã. Đây là 1-2 chuyển lãng quên. (Rõ ràng, trọng tài cũng phải cung cấp cho các cầu thủ những hộp chuyển nhượng lãng quên được chỉ dẫn theo cách khác, từ P2 đến P1.)

Khi tôi lần đầu hỏi câu hỏi 4, tôi đã lo lắng rằng kết quả tính toán an toàn của hai bên không áp dụng cho loại tính toán tương tác này với một trọng tài, nhưng thực tế nó khá dễ dàng để chứng minh rằng họ làm như vậy.

=========== Bằng chứng 2 ===========

$2^n$$t$$Q_t($$, \ldots,$$)$$p$$Q_t$$t$$Q_t$$Q_{t+1}$

Điều đầu tiên chúng ta sẽ sử dụng là, ngay cả với những đồng xu ngẫu nhiên không tương thích, trọng tài có thể khiến người chơi 1 và 2 thực hiện cam kết bit, bằng cách cho họ XOR dữ liệu họ muốn cam kết với các đồng tiền ngẫu nhiên. Do đó, chúng ta có thể nói về P1 và P2 đặt mọi thứ vào phong bì dán kín.

$p_i$$\ell_i$$p_i$$\ell_i$$Q_{t}(p_i)$$Q_t(\ell_i)$$(p_i, \ell_i)$

$(p_i, \ell_i)$

$Q_t(p_i)$$Q_t(p_j)$${p}'_k$${\ell}'_k$đến tập hợp các dòng của P2. Để mỗi dòng giả có hai điểm trên đó. Nếu P1 tình cờ đưa ra giá trị đúng cho một điểm giả trên một dòng và giá trị sai cho điểm giả khác, thì anh ta đã tiết lộ mình là kẻ nói dối, vì P2 không có cách nào để đưa ra giá trị cho một dòng đúng cho một trong hai điểm của P1 và không phải điểm kia. Chúng ta có thể thực hiện một mẹo tương tự để trả lời P2 một cách nhất quán. Sau đó, điều duy nhất còn lại là cho thấy bước cuối cùng của bằng chứng Feige-Kilian vẫn hoạt động. Điều này hóa ra rất đơn giản, mặc dù đi qua các chi tiết sẽ khiến câu trả lời này dài hơn nhiều.