Có giới hạn chung kiểu Bonferroni được biết đến?

Một vấn đề kinh điển trong lý thuyết xác suất là thể hiện xác suất của một sự kiện theo các sự kiện cụ thể hơn. Trong trường hợp đơn giản nhất, người ta có thể nói . Hãy ghi cho sự kiện . $P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$ $AB$ $A \cap B$

Sau đó, có một số cách để ràng buộc , mà không giả định sự độc lập của nhiều sự kiện . Bonferroni đã cho (đôi khi điều này cũng được quy cho Boole ) và Kounias đã tinh chỉnh điều này cho $P[\cup A_i]$ $A_i$

P [\cup A_{i}] \leq \sum P [A_{i}]

$P[\cup A_i] \le \sum P[A_i]$

P [\cup A_{i}] \leq \sum_{i} P [A_{i}] - max_{j} \sum_{i \neq j} P [A_{i} A_{j}] .

$P[\cup A_i] \le \sum_i P[A_i] - \max_j \sum_{i \ne j} P[A_i A_j].$

Cấu trúc phụ thuộc của các sự kiện có thể được coi là một siêu đồ thị có trọng số với các đỉnh $A_i$ , với trọng số của một cạnh biểu thị xác suất của sự kiện liên quan đến giao điểm của các đỉnh trong cạnh.

Một đối số kiểu bao gồm - loại trừ xem xét các tập hợp con lớn hơn và lớn hơn của các sự kiện cùng nhau. Chúng mang lại giới hạn Bonferroni . Các giới hạn này sử dụng tất cả các trọng số cho các cạnh lên đến một số kích thước $k$ .

Nếu cấu trúc phụ thuộc là "đủ tốt", thì Bổ đề địa phương Lovász có thể được sử dụng để ràng buộc xác suất khỏi các giá trị cực trị 0 và 1. Ngược lại với phương pháp Bonferroni, LLL sử dụng thông tin khá thô về cấu trúc phụ thuộc.

Bây giờ giả sử tương đối ít trọng lượng trong cấu trúc phụ thuộc là khác không. Hơn nữa, giả sử rằng có rất nhiều sự kiện mà là cặp độc lập nhưng không phải là độc lập (và tổng quát hơn, nó là khá có thể là một tập hợp của $k$ biến cố không phải là độc lập lẫn nhau nhưng là $r$ -wise độc lập cho mỗi $r < k$ ).

Có thể sử dụng rõ ràng cấu trúc phụ thuộc của các sự kiện để cải thiện giới hạn Bonferroni / Kounias, theo cách có thể được tính toán hiệu quả?

Tôi hy vọng câu trả lời là có, và sẽ đánh giá cao con trỏ đến tài liệu tham khảo. Tôi biết về bài viết của Hunter từ năm 1976, nhưng nó chỉ đề cập đến sự phụ thuộc theo cặp. Hunter xem xét các cây bao trùm trong biểu đồ được hình thành bằng cách bỏ qua các cạnh trong cấu trúc phụ thuộc có kích thước 3 hoặc lớn hơn.

David Hunter, Giới hạn trên cho Xác suất của Liên minh , Tạp chí Xác suất Ứng dụng 13 597 xoáy603. http://www.jstor.org/ sóng / 32248181

reference-request pr.probability

— Salamás Salamon
nguồn

Tôi nghĩ bạn sẽ tìm thấy câu trả lời trong bài báo "Loại trừ bao gồm gần đúng" của Linial và Nisan: http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/approx_incl_excl.pdf

— Aryeh
nguồn

Điều này có vẻ rất phù hợp (liên kết chính thức là link.springer.com/article/10.1007/BF02128670 ); cũng có một liên kết tiếp theo.springer.com/article/10.1007/BF01271266 của Jeff Kahn, Nathan Linial và Alex Samorodnitsky.

— András Salamon