những gì là dễ dàng cho đồ thị loại trừ nhỏ?

Số lượng màu xấp xỉ có vẻ dễ dàng trên các đồ thị loại trừ nhỏ sử dụng thuật toán của Jung / Shah. Các ví dụ khác về các vấn đề khó đối với các biểu đồ chung nhưng dễ dàng trên các biểu đồ loại trừ nhỏ là gì?

Cập nhật 10/24 Dường như theo kết quả của Grohe, công thức mà FPT thử nghiệm trên các đồ thị giới hạn là FPT để thử nghiệm trên các đồ thị loại trừ nhỏ. Bây giờ câu hỏi là - làm thế nào nó liên quan đến tính dễ điều khiển của việc đếm thỏa mãn các bài tập của công thức đó?

Tuyên bố trên là sai. MSOL là FPT trên các đồ thị có chiều rộng cây giới hạn, tuy nhiên 3 màu là hoàn thành NP trên các đồ thị phẳng được loại trừ nhỏ.

Kết quả chung nhất được biết đến là bởi Grohe. Một bản tóm tắt đã được trình bày vào tháng 7 năm 2010:

• Martin Grohe, Xác định điểm cố định và thời gian đa thức trên đồ thị với các vị thành niên bị loại trừ , LICS 2010 ( PDF )

Nói tóm lại, bất kỳ câu lệnh nào có thể biểu thị trong logic điểm cố định khi đếm đều có thuật toán thời gian đa thức trên các lớp biểu đồ có ít nhất một điểm trừ loại trừ. (FP + C là logic thứ nhất được tăng cường với toán tử điểm cố định và một vị từ mang lại tính chính xác của các đỉnh xác định). Ý tưởng chính là việc loại trừ một thứ yếu cho phép các đồ thị trong lớp đã ra lệnh phân rã giống nhau có thể xác định được trong logic điểm cố định (không tính).

Vì vậy, một lớp lớn các câu trả lời cho câu hỏi của bạn có thể thu được bằng cách xem xét các thuộc tính có thể xác định được trong FP + C nhưng rất khó để đếm.

Chỉnh sửa: Tôi không chắc điều này thực sự trả lời câu hỏi của bạn, thậm chí còn ít hơn cho bản cập nhật của bạn. Con trỏ tới và tuyên bố kết quả của Grohe là chính xác, nhưng tôi không nghĩ rằng văn bản nổi bật có liên quan đến câu hỏi của bạn. (Cảm ơn Stephan Kreutzer đã chỉ ra điều này.) Có thể đáng làm rõ: bạn có muốn một vấn đề đếm nói chung khó khăn nhưng dễ dàng đối với các lớp loại trừ nhỏ hoặc vấn đề quyết định không?

Một tính chất thú vị của các gia đình đồ thị khép kín là họ đã bị thoái hóa . Điều này có nghĩa là tất cả các vấn đề dễ xảy ra trên biểu đồ suy thoái giới hạn đều dễ dàng trên các biểu đồ từ một gia đình đóng nhỏ.

Vì vậy, ví dụ, việc tìm kiếm nếu một đồ thị chứa một cụm kích thước k thường là một vấn đề khó và các thuật toán tốt nhất giống như . Tuy nhiên, nếu chúng ta biết rằng sự suy biến là một hằng số, thì k-cliques có thể được tìm thấy trong thời gian tuyến tính, tức là thời gian O (n). Bài viết của Wikipedia về vấn đề clique cũng cung cấp một số thông tin về vấn đề này. (Thời gian chạy chính xác là một cái gì đó giống như O ( k d ( G ) k n ) .) Thuật toán này là của Chiba và Nishizeki .$O(n^k)$$O(k d(G)^k n)$

Các ví dụ khác có thể được tìm thấy trong câu trả lời này của David Eppstein trên MathOverflow cho một câu hỏi tương tự về đồ thị với sự thoái hóa giới hạn.

Là một bổ sung, một thuộc tính hữu ích khác cho các thuật toán trên các biểu đồ loại trừ nhỏ là các biểu đồ này có các dấu tách nhỏ . Chính xác hơn là do

Một thuật toán thời gian tuyến tính để tìm một dấu phân cách trong biểu đồ không bao gồm một phần tử nhỏ , Bruce Reed và David R. Wood, Giao dịch ACM trên Thuật toán, 2009,

$O(n^{2/3})$$O(n^{3/2} + m)$$O(n^{1/2})$

Các dấu tách là tốt cho các kỹ thuật lập trình động và nhiều vấn đề hoàn thành NP được hiển thị là có các thuật toán nhanh với tỷ lệ gần đúng tốt, nói rằng giải pháp nằm trong một yếu tố không đổi của một tối ưu, hoặc thậm chí là PTAS. Đồ thị phẳng , và nói chung, đồ thị chi giới hạn là điểm khởi đầu tốt khi cố gắng giải quyết các vấn đề trên đồ thị loại trừ nhỏ.

$O(1)$

Lý thuyết đồ thị thuật toán nhỏ: Phân rã, xấp xỉ và tô màu bởi Demaine, Hajiaghayi và Kawarabayashi

Bài viết này đưa ra một phiên bản thuật toán của một phân tách nhất định (hơi phức tạp để giải thích) cho các đồ thị loại trừ được đảm bảo bởi định lý Robertson & Seymour, mang lại một số kết quả gần đúng được cải thiện này. Ngoài ra kiểm tra các tài liệu tham khảo trong đó.

$K_5$$K_{3,3}$

$H$$H$

$K_t$$(t-1)$$K_t$$(t-1)$$t− 2$