Câu hỏi có phần mở, vì vậy tôi không nghĩ rằng nó có thể được trả lời hoàn toàn. Đây là một câu trả lời một phần.
Một quan sát dễ dàng là nhiều vấn đề không thú vị khi chúng ta xem xét xấp xỉ phụ gia. Ví dụ, theo truyền thống, hàm mục tiêu của bài toán Max-3SAT là số mệnh đề thỏa mãn. Trong công thức này, xấp xỉ Max-3SAT trong lỗi phụ gia O (1) tương đương với việc giải chính xác Max-3SAT, đơn giản vì hàm mục tiêu có thể được thu nhỏ bằng cách sao chép công thức nhập nhiều lần. Xấp xỉ nhân là rất cần thiết cho các vấn đề của loại này.
[Chỉnh sửa: Trong lần sửa đổi trước, tôi đã sử dụng Bộ độc lập làm ví dụ trong đoạn trước, nhưng tôi đã đổi nó thành Max-3SAT vì Bộ độc lập không phải là một ví dụ hay để minh họa sự khác biệt giữa xấp xỉ nhân và xấp xỉ cộng; xấp xỉ Tập độc lập ngay cả trong hệ số nhân O (1) cũng là NP-hard. Trên thực tế, khả năng không thể đạt được mạnh mẽ hơn cho Bộ độc lập được hiển thị bởi Håstad [Has99].]
Nhưng, như bạn đã nói, xấp xỉ phụ gia rất thú vị cho các vấn đề như đóng gói bin, nơi chúng ta không thể mở rộng hàm mục tiêu. Hơn nữa, chúng ta thường có thể cải tổ một vấn đề để phép gần đúng phụ gia trở nên thú vị.
Ví dụ: nếu hàm mục tiêu của Max-3SAT được xác định lại là tỷ lệ của số mệnh đề thỏa mãn trên tổng số mệnh đề (đôi khi được thực hiện), phép tính gần đúng phụ gia trở nên thú vị. Trong bối cảnh này, xấp xỉ phụ gia không khó khăn hơn là so với xấp xỉ nhân giống theo nghĩa là approximability trong một yếu tố chất nhân 1- ε (0 < ε <1) ngụ ý approximability trong vòng một lỗi phụ ε , vì giá trị tối ưu luôn là nhiều nhất là 1.
Một sự thật thú vị (dường như rất tiếc thường bị bỏ qua) là nhiều kết quả không thể gần đúng chứng minh tính đầy đủ của NP trong một số vấn đề về khoảng cách nhất địnhkhông tuân theo độ cứng NP đơn thuần của phép tính gần đúng nhân (xem thêm Petrank [Pet94] và Goldreich [Gol05, Phần 3]). Tiếp tục ví dụ về Max-3SAT, một kết quả nổi tiếng của Håstad [Has01] là NP-hard để ước tính Max-3SAT trong một hệ số nhân không đổi tốt hơn 7/8. Chỉ riêng kết quả này dường như không ngụ ý rằng NP-hard gần đúng phiên bản tỷ lệ của Max-3SAT trong một lỗi phụ gia không đổi vượt quá một số ngưỡng. Tuy nhiên, những gì Håstad [Has01] chứng minh là mạnh hơn khả năng không thể nhân đôi đơn thuần: ông chứng minh rằng vấn đề hứa hẹn sau đây là NP hoàn thành cho mọi hằng số 7/8 < s <1:
Trường hợp của Gap-3SAT : Công thức CNF φ trong đó mỗi mệnh đề liên quan đến chính xác ba biến khác nhau. Có - lời hứa : là thỏa đáng. Không hứa hẹn : Không có sự phân công sự thật thỏa mãn hơn một phần các mệnh đề của φ.
Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng NP-hard gần đúng phiên bản tỷ lệ của Max-3SAT trong một lỗi phụ gia tốt hơn 1/8. Mặt khác, phép gán ngẫu nhiên đơn giản, thông thường cho phép tính gần đúng trong một lỗi cộng gộp 1/8. Do đó, kết quả của Håstad [Has01] không chỉ mang lại khả năng gần đúng nhân tối ưu cho vấn đề này mà còn là tính không tương thích phụ gia tối ưu. Tôi đoán rằng có nhiều kết quả không tương thích phụ gia như thế này không xuất hiện rõ ràng trong tài liệu.
Tài liệu tham khảo
[Gol05] Goldreich. Về các vấn đề hứa hẹn (một cuộc khảo sát trong bộ nhớ của Shimon Thậm chí [1935-2004]). Colloquium điện tử về độ phức tạp tính toán , Báo cáo TR05-018, tháng 2 năm 2005. http://eccc.hpi-web.de/report/2005/018/
[Has99] Johan Håstad. Bè lũ rất khó để ước tính trong vòng n 1- ε . Acta Mathematica , 182 (1): 105 trừ142, tháng 3 năm 1999. http://www.springerlink.com/content/m68h3576646ll648/
[Has01] Johan Håstad. Một số kết quả không thể tối ưu hóa tối ưu. Tạp chí ACM , 48 (4): 798 Từ859, tháng 7 năm 2001. http://doi.acm.org/10.1145/502090.502098
[Pet94] Erez Petrank. Độ cứng của xấp xỉ: Vị trí khoảng cách. Độ phức tạp tính toán , 4 (2): 133 Từ 157, tháng 4 năm 1994. http://dx.doi.org/10.1007/BF01202286