Giới hạn chặt chẽ về định lý của Savitch

Trước hết, tôi xin lỗi trước cho bất kỳ sự ngu ngốc. Tôi không có nghĩa là một chuyên gia về lý thuyết phức tạp (xa nó! Tôi là một sinh viên học lớp đầu tiên của tôi về lý thuyết phức tạp) Đây là câu hỏi của tôi. Bây giờ lý Savitch của khẳng định rằng Bây giờ tôi tò mò nếu nếu điều này thấp hơn ràng buộc là chặt chẽ, tức là đó là một cái gì đó dọc theo dòng của

NSPACE (f (n)) \subseteq DSPACE ({(f (n))}^{2})

$\text{NSPACE}\left(f\left(n\right)\right) \subseteq \text{DSPACE}\left(\left(f\left(n\right)\right)^2\right)$

là không thể đạt được.

NSPACE (f (n)) \subseteq DSPACE ({(f (n))}^{1.9})

$\text{NSPACE}\left(f\left(n\right)\right) \subseteq \text{DSPACE}\left(\left(f\left(n\right)\right)^{1.9}\right)$

Có vẻ như cần phải có một đối số kết hợp đơn giản được tạo ở đây - mỗi nút trong biểu đồ cấu hình cho máy Turing xác định chỉ có một cạnh ra, trong khi mỗi nút trong biểu đồ cấu hình của máy Turing không xác định có thể có nhiều hơn hơn một cạnh đi. Thuật toán của Savitch đang làm là chuyển đổi các biểu đồ cấu hình với bất kỳ số ra nào thành các biểu đồ cấu hình có cạnh đi. $<2$

Do biểu đồ cấu hình xác định một TM duy nhất (không chắc chắn về điều này), kích thước tổ hợp của cái sau gần như chắc chắn lớn hơn cái trước. "Sự khác biệt" này có lẽ là một yếu tố của , có lẽ ít hơn - tôi không biết. Tất nhiên, có rất nhiều vấn đề kỹ thuật cần giải quyết, như cách bạn cần đảm bảo không có vòng lặp, nhưng câu hỏi của tôi là liệu đây có phải là cách hợp lý để bắt đầu chứng minh một điều như thế này. $n^2$

cc.complexity-theory space-bounded

— gabgoh
nguồn

Câu trả lời:

Đây là một câu hỏi mở nổi tiếng. Bạn sẽ thấy trong lý thuyết phức tạp, nhiều câu hỏi mở mà bạn tự hỏi tại sao không ai quản lý để giải quyết chúng. Một phần lý do là chúng tôi cần những người mới như bạn để giúp chúng tôi giải quyết chúng :)

Để có kết quả mới nhất trong lĩnh vực này, cho thấy thuật toán của Savitch là tối ưu trong một số mô hình bị hạn chế, xem bài viết FOCS của Aaron Potechin .

Cụ thể, anh ta bắt đầu từ một quan sát tốt rằng bởi vì biểu đồ cấu hình của TM xác định chỉ có một cạnh ra (sau khi sửa đầu vào), người ta có thể nghĩ về nó như một đồ thị vô hướng, và vì vậy câu hỏi trở thành một câu như sau: một đồ thị có hướng của đỉnh với hai đỉnh đặc biệt nếu chúng ta bản đồ nó đến một, đỉnh vô hướng đồ thị (cũng với đỉnh đặc biệt ) sao cho sự tồn tại của mỗi cạnh trong phụ thuộc vào một cạnh trong và có một đường dẫn từ $G$ $n$ $s,t$ $N$ $G'$ $s',t'$ $G'$ $G$ $s$ để trong khi và chỉ khi có một đường dẫn giữa và trong , làm thế nào lớn hơn nhiều có được từ . $t$ $G$ $s'$ $t'$ $G'$ $N$ $n$

Để chứng minh rằng thuật toán Savitch là tối ưu, một nhu cầu để chứng minh rằng phải được ít nhất là . Để hiển thị , nó đủ để hiển thị giới hạn yếu hơn mà cho mọi hằng số . Tôi khá chắc chắn rằng ngay cả không được biết, mặc dù có lẽ cái gì đó như được biết đến với một số lý do không nên thú vị. $N$ $2^{\Omega(\log^2 n)} = n^{\Omega(\log n)}$ $L\neq NL$ $N > n^c$ $c$ $N > n^{10}$ $N \geq n^2$

— Boaz Barak
nguồn

Tôi nghĩ rằng chúng ta không biết liệu điều này là chặt chẽ. Nếu không chúng ta sẽ biết rằng . $L \neq NL$

— Karolina Sołtys
nguồn

điểm tốt, cảm ơn :) Về câu hỏi thứ hai - bạn có thấy bất kỳ sai sót rõ ràng nào trong cách tiếp cận kết hợp để thể hiện một điều như thế không?

— gabgoh

Định lý của Savitch là một thuật toán cụ thể để mô phỏng thuật toán không gian f (n) không xác định bằng cách sử dụng phép chia và chinh phục với độ sâu O (f (n)) (cho f (n) ^ 2). Chứng minh giới hạn thấp hơn liên quan đến việc hiển thị TẤT CẢ các thuật toán sử dụng ít không gian hơn trên một số đầu vào. Đây là lý do L = NL khó (và P = NP khó).

— Derrick Stolee

N S p a c e (f (n)) \subseteq D S p a c e ((f (n))^{1.9})

$NSpace(f(n)) \subseteq DSpace((f(n))^{1.9})$

f

$f$

\log n

$\log n$

L \neq N L

$L \neq NL$

N S p a c e (f (n)) \subseteq D S p a c e ((f (n))^{1.9})

$NSpace(f(n)) \subseteq DSpace((f(n))^{1.9})$

L

$L$

N L

$NL$