Là vấn đề nhận dạng 3 hình cầu NP-hoàn thành?

Được biết, việc xác định có hay không một hình 3 cạnh tam giác đã cho là hình cầu 3 trong NP, thông qua công việc của Saul Schleimer năm 2004: "Nhận dạng hình cầu nằm trong NP" arXiv: math / 0407047v1 [math.GT] . Tôi tự hỏi nếu điều này đã được thành lập để hoàn thành NP trong năm hoặc sáu năm qua? Các vấn đề tương tự, chẳng hạn như vấn đề chi 3 nút đa dạng, đã được hiển thị NP-đầy đủ.

Nếu nó hoàn thành NP, thì bạn sẽ không chứng minh rằng không có tập hợp bất biến tính toán thời gian đa thức (đồng nhất) nào của 3 đa tạp phân biệt 3 mặt cầu với 3 đa tạp khác. Tôi sẽ rất ngạc nhiên nếu điều này được biết đến.

Chỉ để thêm vào câu trả lời của Peter: vấn đề không biết về các nút thắt trong ba hình cầu đã được hiển thị trong NP bởi Hass, Lagarias và Pippenger. Ian Agol đã chứng minh rằng vấn đề không biết là ở đồng NP (nhưng hãy xem ý kiến của anh ấy về MathOverflow). Ít nhất, đối với tôi, tôi cảm thấy rằng vấn đề nhận dạng ba hình cầu gần giống với việc không biết nhiều hơn so với chi nút thắt trong ba đa tạp nói chung. (Bởi vì nó được chứng nhận bởi sự hiện diện của bề mặt đặc trưng Euler dương.)

Vì vậy, tôi muốn đặt cược rằng nhận dạng ba hình cầu cũng nằm trong co-NP. Một bước theo hướng này sẽ chỉ ra rằng sự công nhận các đa tạp hình xuyến không thể thay đổi được nằm trong NP, ngay sau Agol. Mạnh hơn một chút sẽ cho thấy sự công nhận đa dạng của Haken nằm ở NP. Việc tách ba hình cầu ra khỏi các đa tạp không thể hình thành, không hình xuyến là khó khăn hơn. Nhưng có lẽ điều cần làm là sử dụng Geometrization - nếu đa tạp được đóng lại, có thể định hướng, không thể thay đổi và atoroidal thì nó có một trong tám hình học Thurston. Có lẽ thật dễ dàng để chứng nhận tất cả các đa tạp hình học nhưng không hyperbol, nói thông qua các mối nối Heegaard gần như bình thường. (Mặc dù giới hạn phức tạp của Hass, Lagarias và Pippenger sẽ phải được thay thế, bằng cách nào đó.)

Xác nhận rằng một ba đa tạp có cấu trúc hyperbol nghe có vẻ khó hơn. Hai ý tưởng tự đề xuất:$M$

Theo ý tưởng của Gabai (và tất nhiên là Thurston), người ta có thể tìm đường cong khép kín đơn giản chính xác để khoan ra khỏi , để có được một N đa tạp với ranh giới hình xuyến. Việc xác nhận cấu trúc hyperbol của N dễ dàng hơn nhiều và thậm chí người ta có thể ghi lại đủ thông tin để chứng minh rằng việc điền N để lấy lại M không phá hủy hyperbol.$M$$N$$N$$N$$M$

Một cách tiếp cận ít nhiều hợp lý là để chứng minh giả thuyết Haken ảo trong một cách mà bạn có a) get vọt đa thức có kích thước vào mức độ trang bìa hoặc b) học một cái gì đó vô cùng hữu ích về .$M$

Bài viết này cho thấy (mặc dù tôi chưa xác minh) rằng nhận dạng 3 hình cầu * nằm trong coNP giả sử GRH:

$SL(2,\mathbb{C})$

(Quan tâm có thể có: một bài báo tiếp theo arXiv: 1610.04092 [math.GT] sử dụng điều này để phát triển một thuật toán sử dụng các cơ sở Grobner.)

* Về mặt kỹ thuật, nó đã tuyên bố rằng việc nhận ra 3 hình cầu trong số các hình cầu tương đồng 3 số nguyên nằm trong coNP giả sử GRH. Tôi không phải là chuyên gia trong lĩnh vực này, nhưng dường như rõ ràng với tôi rằng người ta có thể tính toán tương đồng số nguyên cho một tam giác trong đa thời gian, và nếu tương đồng số nguyên không khớp với hình cầu 3 thì chắc chắn là không 3 hình cầu.