Cung cấp danh sách bỏ qua cân bằng mạnh mẽ trong kỳ vọng

Đưa ra một danh sách bỏ qua chiều cao $n$ , chiều dài dự kiến ​​của nó là bao nhiêu, trong một yếu tố không đổi (nhân)?

Trong phần 2.2 của Cây B lãng quên bộ nhớ cache , Cây tìm kiếm cân bằng mạnh được định nghĩa là:

Đối với một số hằng số $d$ , mọi nút $v$ ở độ cao $h$ có con cháu $\Theta(d^h)$ .

Họ tuyên bố:

Tìm kiếm cây thỏa mãn Thuộc tính 1 và 2 bao gồm cây B cân bằng trọng lượng, danh sách bỏ qua xác định và danh sách bỏ qua theo nghĩa mong đợi.

Tôi đã hỏi về yêu cầu cho danh sách bỏ qua xác định. Câu hỏi này là về yêu cầu cho danh sách bỏ qua.

Tôi tin rằng danh sách bỏ qua có tính chất này trong kỳ vọng, nhưng tôi không thể tìm thấy một lý do nghiêm ngặt. Xác suất theo cách khác (chiều cao, chiều dài đã cho) có thể được tính trực tiếp trong một yếu tố không đổi. Một phân tích tinh vi được đưa ra trong Biến đổi nhị thức và phân tích danh sách bỏ qua .

Biên tập:

Có một số khái niệm khác nhau để xác định "hậu duệ" trong danh sách bỏ qua; thuật ngữ này không được sử dụng trong bài báo gốc của Pugh. Một số cách giải thích có thể về "hậu duệ" đến từ việc xem danh sách bỏ qua dưới dạng cây. Những cách khác nhau để làm điều này được bao gồm trong

• Một lý thuyết giới hạn cho danh sách bỏ qua ngẫu nhiên
• Danh sách bỏ qua xác định
• Bỏ qua cây, một cấu trúc dữ liệu thay thế để bỏ qua danh sách theo cách tiếp cận đồng thời
• Khám phá tính đối ngẫu giữa danh sách bỏ qua và cây tìm kiếm nhị phân

Sử dụng khái niệm từ "danh sách bỏ qua xác định", tôi nghĩ rằng đây là một cách khác để đặt câu hỏi tương tự:

Nếu tôi lấy một đồng xu công bằng, sau đó lật nó vài lần sao cho kết quả cuối cùng của tôi là đuôi và chuỗi đầu liên tục dài nhất có chiều dài , giá trị kỳ vọng của số lần tôi nhìn thấy đuôi là bao nhiêu?$n$

Tôi cũng quan tâm đến các bằng chứng phi xây dựng về cân bằng trọng lượng mạnh trong kỳ vọng, ngay cả khi không có giải pháp dạng đóng cho .$d$

Như bạn đã hỏi, câu hỏi về độ dài dự kiến ​​(cho chiều cao) sẽ không có ý nghĩa nếu không có phân phối trước về độ dài của chuỗi.

$h$$h$$X=X(h)$$h$$2^{-h}$$h$$X$$\mathrm{Geometric}(2^{-h})$$\mathrm{E}(X) = (1-2^{-h})2^h$

Biên tập:

$h+1$$h$

Trong quá trình cải tổ câu hỏi, bạn có sửa số lần bạn lật đồng xu không? Nếu không, có cần thiết phải phân phối khi bạn ngừng lật đồng tiền không?

$H_i$$i \in \mathbb{N}^+$$\mathbb{N}^+$$Pr[H_i = k] = 2^{-k-1}$$i$$H = \max \{H_i \mid i=1,\dots,N\}$$N \in \mathbb{N}^+$

$Pr[H \geq k \mid N] = 1 - \prod_{i=1}^{N} Pr[H_i < k] = 1 - (1 - 2^{-k})^n$ .

Bây giờ chúng ta có thể tính khả năng cho : . Các zero của đầu tiên wrt đạo hàm riêng của biểu thức này được tìm thấy tại (sử dụng Wolfram Alpha). Lưu ý rằng tôi không thể / háo hức đủ để kiểm tra thời tiết hay không thực sự là tối đa. Nếu có, là công cụ ước tính khả năng tối đa cho chiều dài danh sách bỏ qua với chiều cao tháp tối đa .$H=k$$N$$Pr[H = k \mid N] = Pr[H \geq k \mid N] - Pr[H \geq k + 1 \mid N] = (1-2^{-k-1})^n - (1-2^{-k})^n$$N$ N ∗ k N$N^*_k = \frac{\ln\left( \frac{\ln(1 - 2^{-k})}{\ln(1 - 2^{-k - 1})}\right) }{ \ln(1 - 2^{-k-1}) - \ln(1 - 2^{-k})}$$N^*_k$$N$$k$

Một số giá trị, được làm tròn đến số nguyên gần nhất:

k    N^*_k
1    2
2    5
3    11
4    22
5    44
10   1419
20   1.5e6

Điều này cảm thấy hợp lý; bạn có thể muốn kiểm tra wether . Tôi hy vọng chiều cao dự kiến ​​của danh sách bỏ qua cho chiều dài cố định sẽ là kết quả tiêu chuẩn.$\mathbb{E}[k \mid N^*_k] \approx k$

Có ai đó có một ý tưởng tốt làm thế nào để có được một tiệm cận cho ? Các biểu hiện tôi tìm thấy là không hữu ích.$N^*_k$