Độ cứng nhảy trong độ phức tạp tính toán?

Vấn đề băng thông tối thiểu là tìm một thứ tự các nút đồ thị trên dòng số nguyên để giảm thiểu khoảng cách lớn nhất giữa hai nút liền kề. Một -caterpillar là một cây được hình thành từ đường dẫn chính bằng cách phát triển các đường dẫn tách rời cạnh dài tối đa từ các nút của nó ( được gọi là chiều dài tóc). Vấn đề về băng thông tối thiểu là ở cho 2 con sâu bướm nhưng nó là -complete cho 3 con sâu bướm.k k P N $k$$k$$k$$P$$NP$

Đây là một thực tế rất thú vị, Vấn đề băng thông tối thiểu có thể giải quyết được trong thời gian đa thức đối với 1 con sâu bướm (chiều dài lông nhiều nhất là một) nhưng đó là -complete cho sâu bướm 1 chu kỳ (trong sâu bướm tuần hoàn, một cạnh được thêm vào để kết nối các điểm cuối của đường dẫn chính). Vì vậy, việc bổ sung chính xác một cạnh làm cho vấn đề -complete.N $NP$$NP$

Ví dụ nổi bật nhất của vấn đề độ cứng nhảy nơi một biến thể nhỏ sơ thẩm đầu vào gây ra một bước nhảy phức tạp từ thời gian đa thức khả năng giải được cho là gì $NP$ -completeness?

Một trong những ví dụ thú vị được áp dụng của bước nhảy độ cứng có thể được quan sát trong vấn đề sau:

Hãy xem xét một chức vô địch giải đấu bóng đá với đội: Các vấn đề của quyết định có một nhóm nhất định có thể (vẫn) giành chức vô địch là trong P nếu trong một trận đấu, đội chiến thắng được trao tặng 2 điểm, thua một 0 và mỗi đội được trao 1 điểm trong một trận hòa. Nhưng nếu chúng ta thay đổi các quy tắc để đội chiến thắng được 3 điểm, vấn đề tương tự sẽ trở thành N P -hard.$n$$P$$NP$

Kết quả có thể được tổng quát hóa cho bất kỳ quy tắc điểm cho mỗi k > 2 và thậm chí chỉ cho ba vòng còn lại.$(0, 1, k)$$k > 2$

Nguồn: Lý thuyết phức tạp về tầm cao của Ingo Wegener ( http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1076319 )

Điều này trả lời câu hỏi được hỏi trong tiêu đề câu hỏi, nhưng không phải là câu hỏi trong câu hỏi.

Một ví dụ gây sốc về độ cứng nhảy lên xuất phát từ câu hỏi, "Có bao nhiêu bài tập thỏa mãn mà một công thức phẳng có, modulo ?" Điều này được nhiều người cho là # P-hard và nó dành cho các giá trị "nhất" của n , nhưng nếu n là số nguyên Mersenne (ví dụ n = 7 , vì 7 là dạng 2 3 - 1 ), thì câu trả lời có thể được tính trong thời gian đa thức.$n$$n$$n$$n=7$$2^3-1$

Điều này lần đầu tiên được Valiant phát hiện, trong bài báo Thuật toán ba chiều đột phá của ông.

INDEPENDENT SET là NP-hoàn chỉnh cho các đồ thị không có (chéo, tam giác) , nhưng có thể được giải quyết trong thời gian tuyến tính cho các đồ thị không có ghế (tam giác, tam giác) . (Các biểu đồ không có X là những biểu đồ không chứa biểu đồ từ X dưới dạng sơ đồ con cảm ứng.)

ghế: tam giác: chéo:

Lưu ý rằng chữ thập được lấy từ ghế bằng cách thêm một cạnh.

Tôi không chắc chắn rằng tôi sẽ đi cùng với đặc tính của bạn rằng việc thêm một cạnh duy nhất vào đầu vào làm cho vấn đề NP hoàn tất, vì người ta thực sự cho phép một cạnh được thêm vào mỗi một trong vô số trường hợp đầu vào.

Dưới đây là một ví dụ về một vấn đề cho thấy sự phân đôi rõ nét dọc theo các dòng bạn đề xuất.

Vấn đề xác định xem có sự đồng hình hóa đồ thị từ đồ thị đầu vào G đến đồ thị mẫu cố định H nằm trong P khi H là đồ thị có vòng lặp tự hoặc là đồ thị không có hai vòng. Khi H không phải là lưỡng cực (điều này thường có thể đạt được bằng cách thêm một cạnh duy nhất) thì vấn đề sẽ trở thành NP hoàn chỉnh.

• P. Hell và J. Nešetřil, Độ phức tạp của màu H , J. Comb. Th. B 48 92 Pha110, 1990. doi: 10.1016 / 0095-8956 (90) 90132-J

Chìa khóa ở đây là 2 màu nằm trong P (điều này tương ứng với phép đồng hình với , đường dẫn trên 3 đỉnh), trong khi 3 màu là NP-hoàn chỉnh (điều này tương ứng với phép đồng hình với K 3 , tam giác).$P_3$$K_3$

Đây là một ví dụ thú vị khác, được nêu ra trong phát hiện sơ đồ con cảm ứng:

Một theta là một đồ thị có các đỉnh không liền kề $x,y$ , ba đường dẫn $P_1, P_2, P_3$ từ $x$ đến $y$ , trong đó bất kỳ hai đường dẫn nào tạo ra một chu kỳ có độ dài lớn hơn 3.

Hình chóp là một đồ thị có đỉnh $x$ , tam giác $y_1,y_2,y_3$ và các đường dẫn $P_i$ từ $x$ đến $y_i$ cho mỗi $i=1,2,3$ , với nhiều nhất một đường có độ dài một.

Cuối cùng, một hình lăng trụ là một đồ thị có hai tam giác $x_1,x_2,x_3$ và $y_1,y_2,y_3$ và các đường dẫn $P_i$ từ $x_i$ đến $y_i$ cho mỗi $i=1,2,3$ .

Thật dễ dàng để mô tả trong hình:

Để phát hiện theta và kim tự tháp cảm ứng, nó được biết là trong thời gian đa thức. (Trên thực tế, thuật toán được biết đến nhiều nhất cho theta cần thời gian $O(n^{11})$ và đối với kim tự tháp, phải mất $O(n^9)$ .) Nhưng để phát hiện lăng kính cảm ứng, vấn đề trở thành NP-hard.

Người ta có thể xem " Phát hiện các sơ đồ con cảm ứng " của Leveque, Lin, Maffray và Trotignon để tham khảo. Lý do mà theta và kim tự tháp tương đối dễ dàng liên quan đến vấn đề "ba trong một cây", được mô tả trong " Vấn đề ba trong một cây " của Chudnovsky và Seymour.

er ... tôi chắc chắn rằng bạn đang tìm kiếm những ví dụ tầm thường ít hơn ... nhưng tôi muốn chỉ ra rằng có điều gì đó đặc biệt về số so với 3 . 2 - S A T đến 3 - S A T , 2 - C O L so với 3 - C O L , v.v ... Theo trực giác, tôi luôn nghĩ rằng đó là vì một nút có nhiều nhất 2 cạnh có thể tạo thành nhiều nhất một đường, nhưng một nút có 3 cạnh có thể tạo thành một cái cây, khi chúng ta di chuyển từ 2-3 chúng ta sẽ có một vụ nổ tổ hợp.$2$$3$$2-SAT$$3-SAT$$2-COL$$3-COL$

Tôi nghĩ rằng nó không có ý nghĩa nhiều để nói về các trường hợp. Chúng ta có thể nói về hai phân phối của các thể hiện đầu vào với những khó khăn khác nhau, nhưng sẽ thú vị hơn nếu có mối quan hệ giữa phân phối hoặc giữa các phiên bản trong các bản phân phối.

Chúng ta có thể xem xét một họ phân phối được tham số hóa, và sau đó nói về những gì xảy ra khi chúng ta thay đổi tham số. Bạn có thể quan tâm đến cái được gọi là hiện tượng ngưỡng , "trong đó một hệ thống trải qua một sự thay đổi nhanh chóng về chất do kết quả của một thay đổi nhỏ trong một tham số ...". Hãy xem khảo sát này: Ehud Friedgut , " Săn tìm ngưỡng sắc nét ", Thuật toán cấu trúc ngẫu nhiên 26, 2005.

Tôi nghĩ rằng một trong những ví dụ nổi bật và đẹp nhất là ngẫu nhiên k-SAT với mật độ khoản , sự chuyển pha là thực sự tuyệt vời.$\Delta$

Suy ra các loại cho các thuật ngữ lambda là DEXPTIME - hoàn thành với các hệ thống loại đa hình prenex và cấp 2 (khi các bộ định lượng loại được lồng ở độ sâu tối đa một cấp), nhưng trở nên không thể xác định được cho cấp 3 trở lên. Kỳ lạ là một cấp độ lồng thêm có thể khiến một vấn đề không thể giải quyết được.

Tìm trạng thái cơ bản của mô hình Ising phẳng với từ trường 0 nằm trong P, với từ trường khác không, nó là NP-hard. Hàm phân vùng của mô hình Isar phẳng có từ trường 0 nằm trong P, với từ trường khác không, nó là NP-hard.

Đây là một vấn đề hay với bước nhảy phức tạp thú vị như Băng thông tối thiểu bạn đã giải quyết trong câu hỏi của mình.

Hãy để là một đồ thị và T một cây bao trùm của G . Các đường vòng cho một cạnh u v ∈ E ( G ) là độc đáo u - v đường dẫn trong T . Sự tắc nghẽn của e ∈ E ( T ) , ký hiệu là c ( $G$$T$$G$$uv\in E(G)$$u$$v$$T$$e \in E(T)$là số đường vòng có chứae. Sự tắc nghẽn củaGtrongT, ký hiệu là c n g$\mathrm{cng}_{G,T}(e)$$e$$G$$T$ , là tắc nghẽn tối đa trên tất cả các cạnh trong T . Các trải dài tắc nghẽn cây của G , ký hiệu là s t c ( G ) , là tắc nghẽn tối thiểu trên tất cả các cây kéo dài của G . Bài toán tắc nghẽn cây Spanning hỏi xem một đồ thị đã cho có bị tắc nghẽn cây không, nhiều nhất là một số k cho trước.$\mathrm{cng}_G(T)$$T$$G$$\mathrm{stc}(G)$$G$$k$

Bước nhảy phức tạp sau đây được hiển thị trong: Bodlaender và cộng sự, Độ phức tạp tham số của vấn đề tắc nghẽn cây Spanning , Thuật toán 64 (2012) 85 Pha11 :

Đối với mỗi cố định và d,bài toán có thể giải quyết được trong thời gian tuyến tính đối với các đồ thị mức độ nhiều nhất là d . Ngược lại, nếu chúng ta cho phépchỉ có mộtđỉnh của mức độ vô biên, vấn đề ngay lập tức trở thành N P -complete cho bất kỳ cố định k ≥ 8 .$k$$d$$d$$\mathsf{NP}$$k\ge 8$

Tôi tự hỏi tại sao không ai đề cập đến điều này:

Sừng-Sat vs K-Sat

Tôi đoán mọi người đều biết nó là gì. Nếu không:

Horn-Sat là để tìm xem một tập hợp các mệnh đề sừng có thỏa đáng hay không (mỗi mệnh đề có nhiều nhất 1 nghĩa đen).

K-Sat là để tìm xem một tập hợp các mệnh đề có thỏa đáng hay không (mỗi mệnh đề có thể có nhiều hơn 1 nghĩa đen).

Vì vậy, việc cho phép nhiều hơn một nghĩa đen tích cực trong mỗi mệnh đề làm cho vấn đề từ P-Complete NP-Complete.

Vẽ màu

Như đã đề cập trong một câu trả lời khác, 2-COL có thể giải được trong thời gian đa thức trong khi 3-COL là NP-đầy đủ. Nhưng khi tăng số lượng màu, sau một số điểm (chưa biết?), Vấn đề trở nên dễ dàng hơn!

Ví dụ: nếu chúng ta có N đỉnh và N màu, vấn đề có thể được giải quyết bằng cách gán một màu khác nhau cho mỗi đỉnh.

Trong một tĩnh mạch tương tự: Vĩnh viễn vs Xác định.

Tôi chỉ đọc một bài báo liên quan đến phân vùng siêu dữ liệu . Vấn đề được định nghĩa như thế này, trích dẫn:

$k$$l$$1 \leq l < k$$P^l_k$$\mathcal{H} = (V, \mathcal{E})$$t_1, \dots, t_k$$|V| = n = \sum^k_{i=1} t_i$$|\mathcal{E}| = m$. Liệu có tồn tại một màu (partition) của màu sắc?$V$$k$$t_1, \dots, t_k$$\mathcal{E}$$l$

Nói chung, nó đã được chứng minh rằng:

• $P^1_k$$n,m$$k \geq 2$
• $P^l_k$$2 \leq l < k$

Nếu điều này không đủ "nhảy", hãy đọc tiếp. Đối với các siêu dữ liệu với các siêu phân tách rời rạc, nó được hiển thị:

• $P^1_k$$k \geq 2$
• $P^l_k$$m$$2 \leq l < k$

Laurent Lyaudet. 2010. Các biến thể NP-hard và tuyến tính của phân vùng siêu dữ liệu. Lý thuyết. Tính toán. Khoa học 411, 1 (tháng 1 năm 2010), 10-21. http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2009.08.035

Nhảy phức tạp thú vị được biết đến cho các vấn đề lập kế hoạch cửa hàng công việc.

$n$$M$$m$$j$$\mu_j$$O_{1j},O_{2j},\dots,O_{\mu_jj}$$O_{ij}$$p_{ij}$$m_{ij}\in M$$C_j$$j$

$C_{max}=max_jC_j$$\sum C_j$

$J||\gamma$$\gamma$

$J2|n=k|F$$J|n=2|F$$J2$ $(n=k)$$2$ $(k)$$F$

$J3|n=3|C_{max}$$J3|n=3|\sum C$

$J2||C_{max}$$J2||\sum C$ là mạnh mẽ NP-hard.

Vì vậy, ở đây chúng ta có thể thấy rằng có một bước nhảy khi chúng ta đi từ hai công việc / máy móc lên ba.

$\ln n$$(1-o(1))\ln n$

$2^n$$2^n$$(a+b)^n=\sum_{i\in{0..n}}{{n}\choose{i}}a^ib^{n-i}$$p_b(a)$$a=b=1$$2^n=p_1(1)$$DTIME(2^n)$$(k<n)$$P=NP=DTIME(2^n)$$P=NP$