Bằng chứng tương tác cho các cấp của hệ thống phân cấp đa thức

33

Chúng tôi biết rằng nếu bạn có máy PSPACE, nó đủ mạnh để đưa ra bằng chứng tương tác về bất kỳ cấp bậc đa thức nào. (Và nếu tôi nhớ đúng, tất cả những gì bạn cần là #P.) Nhưng giả sử bạn muốn đưa ra bằng chứng tương tác về tư cách thành viên bằng ngôn ngữ . Có đủ để có thể giải quyết vấn đề trong không? Việc giải quyết các vấn đề trong có đủ không? Tổng quát hơn, nếu bạn có thể giải quyết các vấn đề hoặc , thì có đủ để tạo ra bằng chứng tương tác của tất cả các ngôn ngữ trong Sigma_ không? $\Sigma_2$ $\Sigma_2$ $\Sigma_5$ $\Sigma_k$ $\Pi_k$ $\Sigma_\ell$ $\Sigma_\ell$

Câu hỏi này được lấy cảm hứng từ câu hỏi stackexchange cstheory này .

cc.complexity-theory interactive-proofs

— Peter Shor
nguồn

Bạn chỉ quan tâm đến trường hợp prover duy nhất hoặc bạn quan tâm đến trường hợp của nhiều provers? Dường như với tôi rằng cách rõ ràng để tấn công điều này sẽ là thông qua các PCP, có thể là hướng thẳng cho hai người ủng hộ, nhưng có lẽ sẽ không hiệu quả đối với một người hoạt động.

— Joe Fitzsimons

1

Tôi quan tâm đến cả hai trường hợp. Tôi đã tự hỏi về câu hỏi này cho các provers duy nhất trong một thời gian dài, nhưng đã không nghĩ gì về nhiều provers.

— Peter Shor

4

@Peter: Nhìn qua giấy IP = PSPACE, dường như bằng chứng sẽ thông qua việc sử dụng

(hoàn thành cho

) chứ không phải QBF, với điều kiện bạn có một người hoạt động đủ mạnh để tính toán các nhận dạng đa thức phát sinh từ sự phổ biến của

. Tui bỏ lỡ điều gì vậy?

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

— Joe Fitzsimons

1

@Joe, tôi chưa xem xét ý tưởng đó; có thể đấy.

— Peter Shor

2

Joe, có lẽ bạn nên đăng nó như một câu trả lời

— Suresh Venkat

25

Ngay cả khi cung cấp IP cho coNP, sử dụng các kỹ thuật hiện tại, người ta cần phải xác định lại, tức là sử dụng tính, nghĩa là về cơ bản toàn bộ sức mạnh của #P. Bất kỳ người hoạt động yếu hơn nào ngay cả đối với coNP đều rất thú vị, tôi nghĩ (đặc biệt sẽ ngụ ý một kỹ thuật không tương đối mới.)

— Buổi sáng
nguồn

@Peter: Noam là đúng. Tôi xin trích dẫn các dòng sau từ đây : ... băm căn cứ chống va chạm vào độ cứng trường hợp xấu nhất của NP thông qua việc giảm hộp đen ngụ ý một hệ thống bằng chứng tương tác cho co-NP với người hoạt động trong BPP ^ NP ... Các hệ thống chứng minh (thậm chí đa prover) cho co-NP yêu cầu các provers có độ phức tạp #P ...

— MS Dousti

Trong trường hợp đó câu trả lời của tôi rất có thể là vô nghĩa. Cảm ơn đã chỉ ra điều này.

— Joe Fitzsimons

Trên thực tế, điều này thực sự thú vị, vì một bằng chứng tương tác cho biểu đồ không đẳng cấu chỉ cần một người hoạt ngôn với một lời tiên tri cho vấn đề đó. Cảm giác giống như bằng chứng cho thấy GI rất yếu (như trong P) hoặc giới hạn cho bằng chứng tương tác về mức độ của hệ thống phân cấp đa thức có thể rất lỏng lẻo.

— Joe Fitzsimons

1

Tôi giả sử nhiều provers không được biết để giúp đỡ. Điều này có đúng không?

— Peter Shor

1

@Joe Bằng chứng cho biểu đồ không đẳng cấu là một bằng chứng đồng xu công khai không đổi, do đó đưa nó vào lớp AM (được tin tưởng rộng rãi bằng NP, và do đó GI và GNI được cho là ở

). Điều này thấp hơn nhiều so với chứng minh vòng đa thức được cho là cần thiết để chứng minh tư cách thành viên trong các vấn đề hoàn chỉnh của coNP.

N P \cap c o N P

$NP \cap coNP$

— Boaz Barak

21

Đây là một vấn đề mở (tuyệt vời) mà tôi đã làm việc theo thời gian mà không thành công.

Avi Wigderson và tôi đã đề cập đến vấn đề trong bài báo về sự phân tách của chúng tôi , trong đó chúng tôi đặt ra câu hỏi về việc liệu các ngăn chặn như coNP IP _NP có thể được chứng minh thông qua các kỹ thuật xoay vòng hay không. (Ở đây IP _NP biểu thị IP bằng trình xác minh BPP và câu tục ngữ ^NP BPP .) Nếu (như tôi phỏng đoán) câu trả lời là không, thì điều đó sẽ cung cấp một lý do chính thức tại sao mọi giao thức tương tác như Peter yêu cầu sẽ không tương đối các kỹ thuật "vượt xa về cơ bản" những kỹ thuật được sử dụng cho IP = PSPACE.

Một câu hỏi tương tự là liệu BQP = IP _BQP hay không , trong đó IP _BQP có nghĩa là IP với trình xác minh BPP và một prover BQP (đa thức lượng tử thời gian). Câu hỏi đó cũng mở --- mặc dù một bước đột phá gần đây của Broadbent, Fitzsimons và Kashefi cho thấy một tuyên bố liên quan chặt chẽ là đúng.

— Scott Aaronson
nguồn

20

Có, câu hỏi liệu coNP có bằng chứng tương tác trong đó người hoạt động yếu hơn #P (giả sử, polytime có quyền truy cập vào NP oracle) là một câu hỏi mở nổi tiếng. Bài báo gần đây của Haitner, Mahmoody và Xiao thảo luận về câu hỏi này và cho thấy một số hậu quả của giả định rằng điều này không thể được thực hiện.

— Boaz Barak
nguồn

11

Vì Suresh đã đề nghị tôi đăng bình luận của mình như một câu trả lời, tôi sẽ. Tuy nhiên, tôi không coi đây là một câu trả lời đầy đủ vì tôi đã không cố gắng chứng minh điều này và nó có thể trở thành một ngõ cụt.

$\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$ $\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$

— Joe Fitzsimons
nguồn

vấn đề đã phát sinh trong bằng chứng cho coNP. Giao thức sumcheck có n vòng (một cho mỗi biến). Trong mỗi vòng, người hoạt động cần đưa ra các hệ số của đa thức thu được bằng một số tiền lớn theo cấp số nhân. Tôi không biết cách thực hiện bằng cách sử dụng ít năng lượng hơn #P.

— Boaz Barak

@Boaz: Vâng, tôi nghĩ rằng cách tiếp cận này đã được định sẵn để thất bại. Tôi nghĩ rằng tôi đã thấy một phiên bản của phép tính toán được thực hiện ở đâu đó theo cách mà đa thức chỉ lấy các giá trị 1 hoặc 0 cho các đầu vào 0 và 1. Nếu đây là trường hợp, có vẻ như bạn có thể sử dụng một lời sấm truyền cho một vấn đề quyết định tương ứng. Sau đó, một lần nữa, tôi có thể đã tưởng tượng rằng!

— Joe Fitzsimons