Kỹ thuật thể hiện tính không dẫn xuất trong logic và các hệ thống chứng minh chính thức khác

Trong các hệ thống chứng minh cho logic mệnh đề cổ điển nếu muốn chứng minh rằng một công thức nhất định không phải là một derivable đơn giản cho thấy thể được bắt nguồn (mặc dù các kỹ thuật khác chắc chắn là có thể). Tính không dẫn xuất chủ yếu xuất phát từ sự đúng đắn và đầy đủ của hệ thống chứng minh. $\psi$ $\neg\psi$

Thật không may cho các logic phi cổ điển và các hệ thống chứng minh kỳ lạ hơn (như các quy tắc cơ bản về ngữ nghĩa hoạt động) không có kỹ thuật trực tiếp như vậy tồn tại. Đây có thể là do phi derivability của không có nghĩa là là derivable, như là trường hợp với logic intuitionistic, hoặc đơn giản là không có khái niệm phủ định tồn tại. $\psi$ $\neg\psi$

Câu hỏi của tôi được đưa ra một hệ thống giấy tờ chứng minh , nơi $(\mathcal{L},\vdash)$ , (và có lẽ là ngữ nghĩa của nó), những kỹ thuật nào tồn tại để thể hiện tính không dẫn xuất? $\vdash\;\subseteq\mathcal{L}^*\times\mathcal{L}$

Các hệ thống chứng minh quan tâm có thể bao gồm ngữ nghĩa hoạt động của ngôn ngữ lập trình, logic Hoare, hệ thống loại, logic phi cổ điển hoặc quy tắc suy luận cho những gì bạn có.

lo.logic

— Dave Clarke
nguồn

Dave, tôi nghĩ rằng có một lỗi đánh máy trong câu hỏi, để chứng minh rằng

không derivable chúng tôi không thấy

là derivable, chúng tôi chỉ thấy rằng nó là phù hợp, và điều này chỉ dựa trên sự nhất quán của logic cổ điển. Nếu logic là logic cổ điển bậc nhất, thì có những câu mà chúng ta không thể chứng minh cũng không bác bỏ (trừ khi chúng ta đang nói về một lý thuyết hoàn chỉnh ). Hay tôi đang đọc sai câu hỏi của bạn?

φ

$\varphi$

\neg φ

$\lnot \varphi$

— Kaveh

Tôi đã thay đổi nó thành logic mệnh đề cổ điển. Câu hỏi yêu cầu bất kỳ kỹ thuật nào ngoài việc chứng minh phủ định, vì nhiều hệ thống chính thức (bộ sưu tập tiên đề và quy tắc suy luận) không có phủ định, hoặc trên thực tế có thể không giống như "logic".

— Dave Clarke

Cảm ơn đã làm rõ, tâm trí của tôi đi đến logic thứ nhất theo mặc định khi tôi đọc logic cổ điển. :)

— Kaveh

IME, danh sách sau đây là dễ nhất đến khó nhất (tất nhiên, nó cũng ít nhất là mạnh nhất):

$\lnot \phi$
Nếu bạn có một ngữ nghĩa lý thuyết mạng cho logic của bạn, liên quan đến tất cả các quy tắc chứng minh của bạn là hợp lệ, thì nếu ý nghĩa của một mệnh đề không phải là yếu tố trên cùng của mạng, thì đó không phải là một mệnh đề có thể dẫn xuất được.
$\phi$
Đôi khi bạn có thể thoát khỏi một bản dịch sang một logic khác, và cho thấy rằng tính khả biến ở đây ngụ ý một kết quả có thể phản hồi được biết đến ở đó.
Nếu bạn có một phép tính tự nhiên hoặc phép tính liên tiếp, hãy kiểm tra xem liệu có kết quả loại bỏ được biết hay không, hoặc nếu bạn có thể chứng minh một kết quả. Nếu có, thì bạn thường có thể khai thác thuộc tính biểu mẫu con để đưa ra các lập luận quy nạp đơn giản về tính dễ phản hồi. (Ví dụ: tính nhất quán thông qua loại bỏ cắt chỉ là tuyên bố rằng không có bằng chứng cắt không sai, và vì vậy nếu tất cả các vết cắt có thể được loại bỏ thì không có sự mâu thuẫn nào.)
Nếu không có gì khác hoạt động, thì bạn thường có thể hiển thị kết quả tính nhất quán / khả năng phản hồi thông qua một đối số quan hệ logic. Đây là khẩu súng lớn, hoạt động khi không có gì khác - theo lý thuyết tập hợp, nó tập trung vào việc sử dụng tiên đề của Thay thế, cho phép bạn hiển thị các bộ lớn được sắp xếp hợp lý. (Đây là lý do tại sao bạn có thể sử dụng nó để chứng minh những thứ như bình thường hóa Hệ thống F.)

— Neel Krishnaswami
nguồn

F

$F$

P A^{2}

$PA^2$

F^{2}

$F^2$

Cảm ơn, bây giờ tôi thấy ý của bạn là "những thứ như bình thường hóa Hệ thống F". :)

— Kaveh

@Kaveh, @Neel: Chuẩn hóa mạnh mẽ hệ thống F không phải là một định lý của PA2, thay vào đó nó tương đương với PA với tính nhất quán của PA2. Thay vào đó, bình thường hóa mạnh mẽ cho tất cả về thứ hạng n (rank là thước đo độ sâu maxiumum của quantifiers loại nsted) có thể được chứng minh bằng ACA- n . Tôi thích nói về việc xây dựng các mô hình điếc trong bí mật ...

— Charles Stewart

@ Charles: Tôi đã học về ý tưởng này từ một số bài báo của Jean Gallier, được trích dẫn một cách đáng ngạc nhiên. Hơi khó hiểu, cái nhìn lạ mắt này đã giúp tôi hiểu được tài khoản đơn giản hơn của Mitchell & Scedrov.

— Neel Krishnaswami