Nhanh chóng tìm thấy chuỗi rỗng tạo ra các số không trong CFG

Đối với một bối cảnh cụ ngôn ngữ miễn phí G, chúng ta gọi là không thuộc đầu cuối nullable nếu A i → * ε , tức là chúng ta có thể lấy được các chuỗi rỗng từ A i sau khi áp dụng một số hữu hạn các tác phẩm.$A_i$ $A_i \rightarrow^* \epsilon$$A_i$

Có một thuật toán đơn giản để xác định các phần tử ngữ pháp nào là không thể tìm thấy ở đây :

Chúng tôi bắt đầu bằng cách xem xét tất cả các nonterminals là không thể rỗng. Chúng tôi đánh dấu tất cả như nullable nếu có một sản xuất A i → ε . Chúng tôi sau đó lặp qua tất cả các tác phẩm khác Một i → B 1 B 2 ... B k trừ tác phẩm với một thiết bị đầu cuối trong họ, và đánh dấu A i như nullable nếu tất cả B i là nullable. Chúng tôi tiếp tục thực hiện vòng lặp này cho đến khi chúng tôi hoàn thành một vòng lặp mà không đánh dấu bất kỳ số phút nào là không thể.$A_i$$A_i \rightarrow \epsilon$$A_i \rightarrow B_1 B_2 \dots B_k$$A_i$$B_i$

Vấn đề của tôi với thuật toán này là nó có thời gian chạy : trường hợp xấu nhất là ví dụ A 1 → A 2 , A 2 → A 3 , A 3 → A 4 , ..., A n - 1 → Một n , A n → ε .$O(n^2)$$A_1 \rightarrow A_2$$A_2 \rightarrow A_3$$A_3 \rightarrow A_4$$A_{n-1} \rightarrow A_n$$A_n \rightarrow \epsilon$

Có một thuật toán cho vấn đề này với thời gian chạy tốt hơn không?$O(n^2)$

Không thể thực hiện thuật toán đó trong thời gian tuyến tính như sau? (Cảnh báo tôi không đọc bằng chứng quá cẩn thận, vì vậy rất có thể có lỗi.)

Trong phần tiếp theo bất cứ khi nào tôi nói "sản xuất" tôi có nghĩa là chỉ bao gồm những người không bao gồm thiết bị đầu cuối. Xây dựng một danh sách, đối với mỗi phi thiết bị đầu cuối, trong những sản phẩm xuất hiện trong. Đối với mỗi sản xuất để c i đếm có bao nhiêu khác biệt phi cảng ở phía bên tay phải đang đánh dấu không nullable. Đặt Q biểu thị một hàng đợi các thiết bị đầu cuối không được đánh dấu là null nhưng chưa được xử lý. Khởi tạo tất cả c i với số lượng thiết bị đầu cuối riêng biệt ở phía bên phải của sản xuất i . Khởi tạo tất cả các thiết bị đầu cuối để không nullable. Với mọi Z không đầu cuối được tạo bởi sản xuất i với c i$i$$c_i$$Q$$c_i$$i$$Z$$i$ thêm Z vào Q và đánh dấu Z là nullable.$c_i=0$$Z$$Q$$Z$

Trong khi không trống, hãy xóa một thiết bị đầu cuối X tùy ý khỏi Q và xử lý nó như sau. Với mỗi j sản xuất mà X đang ở, giảm c j . Nếu một c j trở thành 0, hãy kiểm tra xem liệu đầu cuối Y không tương ứng đã được đánh dấu là nullable chưa. Nếu không, đánh dấu Y nullable và thêm$Q$$X$$Q$$j$$X$$c_j$$c_j$$Y$$Y$ để Q .$Y$$Q$