Xác định các cạnh vô dụng cho con đường ngắn nhất

Hãy xem xét một biểu đồ (vấn đề có ý nghĩa đối với cả đồ thị có hướng và không có hướng). Gọi ma trận khoảng cách của : là khoảng cách đường đi ngắn nhất từ đỉnh đến đỉnh trong cho một hàm tổng hợp cố định nhất định (ví dụ hoặc ). $G$ $M_G$ $G$ $M_G[i, j]$ $i$ $j$ $G$ $+$ $\max$

Tôi nói rằng một sơ đồ con $G'$ của $G$ (có cùng một đỉnh được đặt) tương đương với $G$ nếu $M_G = M_{G'}$ . Nói cách khác, việc loại bỏ các cạnh để đi từ $G$ đến $G'$ không làm thay đổi độ dài của các đường dẫn ngắn nhất; các cạnh bị loại bỏ là không cần thiết cho bất kỳ con đường ngắn nhất.

Nói chung, không có sơ đồ con tương đương sp của $G$ là tối thiểu để đưa vào. Chẳng hạn, nếu $G$ không bị ảnh hưởng và tất cả các cạnh có trọng số $0$ , thì bất kỳ cây bao trùm nào của $G$ đều là một sơ đồ con tương đương sp tối thiểu (thực sự, bất kỳ cạnh nào trong một chu kỳ đều có thể bị loại bỏ, nhưng việc ngắt kết nối một cặp đỉnh rõ ràng sẽ thay đổi khoảng cách). Tuy nhiên tôi vẫn có thể gọi các cạnh của $G$ vô dụng nếu chúng không có sơ đồ con tương đương sp tối thiểu, cần thiết nếu chúng nằm trong tất cả các sơ đồ con tương đương sp tối thiểu (nghĩa là trong giao điểm của chúng) và tùy chọn nếu chúng ở trong một số chúng (nghĩa là , trong liên minh của họ).

Câu hỏi đầu tiên của tôi là: Những khái niệm này có tên chuẩn không?

Câu hỏi thứ hai của tôi là: Sự phức tạp của việc phân loại các cạnh của $G$ theo cách này, tùy thuộc vào việc $G$ không bị dẫn hướng hoặc định hướng, và trên hàm tổng hợp?

(Ví dụ: đối với $G$ không bị chặn và đối với $\max$ , các sơ đồ con tương đương sp tối thiểu là các cây có trọng lượng tối thiểu, do đó, ít nhất là nếu tất cả các trọng số cạnh đều khác nhau, việc phân loại dễ dàng được tính bằng cách tính cây bao trùm tối thiểu duy nhất, nhưng nói chung Tôi không biết mọi thứ hoạt động như thế nào.)

— a3nm
nguồn

"Ví dụ, nếu G không bị chặn và không có trọng số, thì bất kỳ cây bao trùm nào của G đều là một sơ đồ con tương đương sp tối thiểu." Điều này dường như không đúng: trong tất cả các khoảng cách là , nhưng không có cây bao trùm nào của có thuộc tính này. Trong thực tế, không có đồ thị con nào. Hãy nghe âm thanh này giống như một cờ lê en.wikipedia.org/wiki/Graph_spanner#Distance

K_{n}

$K_n$

1

$1$

K_{n}

$K_n$

— Sasho Nikolov

Trong thực tế, đối với bất kỳ đồ thị không có trọng số nào, không có sơ đồ con tương đương sp: nếu một sơ đồ con không bao gồm cạnh , thì .

G

$G$

G^{'}

$G'$

(u, v)

$(u, v)$

1 = M_{G} [u, v] < M_{G^{'}} [u, v]

$1 = M_G[u, v] < M_{G'}[u, v]$

— Sasho Nikolov

Tôi nghĩ rằng ít nhất chúng ta có thể nói nhận dạng dễ như đường dẫn ngắn nhất của tất cả các cặp: Nếu có một cạnh nhưng đường đi ngắn nhất từ đến ngắn hơn cạnh đó, thì cạnh đó là "vô dụng" (chúng ta nên luôn luôn sử dụng đường dẫn ngắn hơn thay vì cạnh này, trong bất kỳ kịch bản nào); ngược lại, nếu một cạnh là "vô dụng", thì phải có một đường dẫn ngắn hơn chiều dài cạnh đó từ đến . Vì vậy, chỉ cần lặp qua các cạnh và kiểm tra nếu có một con đường ngắn hơn cạnh đó. (Trên đây là dành cho con đường ngắn nhất thông thường, chưa nghĩ đến quy tắc tổng hợp .)

(u, v)

$(u,v)$

u

$u$

v

$v$

u

$u$

v

$v$

max

$\max$

— usul

Bạn có thể muốn tìm kiếm "trình bảo vệ khoảng cách"

— arnab

Sasho Nikolov: Xin lỗi, đối với các đồ thị không có trọng số và không có trọng số, tôi có nghĩa là các cạnh của trọng số 0, chứ không phải 1. Viết lại điều này trong câu hỏi.

— a3nm

Nếu bạn đang tìm cách đặt tên (hoặc đặc trưng xen kẽ) các cạnh này bạn gọi là "vô dụng" và "cần thiết", bạn có thể gọi chúng là các cạnh có độ giữa centrality = 0 và = 1, tương ứng. Mọi cạnh có thể được phân loại là có = 0, = 1 hoặc trong (0,1) khoảng đo giữa thời gian của tất cả các cặp đường đi ngắn nhất.

Đây là một biện pháp được nghiên cứu kỹ về các cạnh mạng và có các thuật toán nhanh để cập nhật tất cả các điểm số trung tâm của các cạnh khi xóa cạnh (nhưng tôi không chắc chắn về các nhiễu loạn khác).

Một hàm trung tâm được tích hợp sẵn cho hầu hết mọi phân tích mạng mà tôi đã thấy và cũng có một định nghĩa áp dụng cho các biểu đồ có hướng:

(chỉnh sửa: liên kết mà tôi đưa ra ban đầu chỉ thảo luận về tính trung tâm của nút, nhưng đây là bài viết wikipedia duy nhất tôi có thể tìm thấy để thảo luận về tính trung tâm cạnh giữa: http://en.wikipedia.org/wiki/Girvan%E2%80%93Newman_alerskym Tuy nhiên, giữa các cạnh là một biện pháp tiêu chuẩn thường có thể được tìm thấy trong các gói phân tích mạng.)

— JimN
nguồn

Tôi nghĩ rằng sự khác biệt giữa tính trung tâm của nút và tính trung tâm của cạnh là không cần thiết bởi vì bạn luôn có thể thêm các nút trung gian vào các cạnh hoặc sao chép các nút và thêm một cạnh từ một bản sao sang một bản sao khác, để giảm một định nghĩa khác. Đây là một con trỏ hữu ích, cảm ơn vì đã khiến tôi nhận ra điều này!

— a3nm