Là vấn đề tập hợp thống trị được giới hạn trong các đồ thị lưỡng cực phẳng của NP-độ 3 tối đa hoàn thành?

Có ai biết về kết quả hoàn thành NP cho bài toán DOMINATING SET trong các biểu đồ, được giới hạn trong lớp biểu đồ lưỡng cực hai mặt phẳng bậc 3 không?

Tôi biết đó là NP-hoàn chỉnh cho lớp đồ thị phẳng bậc 3 tối đa (xem sách Garey và Johnson), cũng như đối với đồ thị lưỡng cực bậc 3 (xem M. Chlebík và J. Chlebíková, "Độ cứng xấp xỉ của thống trị các vấn đề tập hợp trong đồ thị mức độ giới hạn "), nhưng không thể tìm thấy sự kết hợp của hai trong tài liệu.

Điều gì nếu bạn chỉ cần làm như sau: Cho một đồ thị , xây dựng một đồ thị G ' = ( V ∪ U , E ' ) bằng cách phân chia mỗi cạnh của G trong 4 phần; Ở đây U là tập hợp các nút mới mà chúng tôi đã giới thiệu và | U | = 3 | E | .$G = (V,E)$$G' = (V \cup U, E')$$G$$U$$|U| = 3|E|$

Đồ thị là hai phía. Hơn nữa, nếu G là phẳng và có max. mức độ 3, sau đó G ' cũng là phẳng và có tối đa. độ 3.$G'$$G$$G'$

Hãy là một (tối thiểu) thống trị đặt ra cho G ' . Hãy xem xét một cạnh ( x , y ) ∈ E đã được chia để tạo thành một con đường ( x , một , b , c , y ) trong G ' . Bây giờ rõ ràng ít nhất một trong một , b , c là ở D ' . Hơn nữa, nếu chúng ta có nhiều hơn một trong một , b , c trong D ' , chúng tôi có thể sửa đổi$D'$$G'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c$$D'$$a,b,c$$D'$ để nó vẫn là một tập hợp thống trị hợp lệ và kích thước của nó không tăng. Ví dụ, nếu chúng ta có một ∈ D ' và c ∈ D ' , chúng ta có thể tốt như nhau loại bỏ c từ D ' và thêm y để D ' . Do đó wlog chúng ta có | D ' ∩ U | = | E | .$D'$$a \in D'$$c \in D'$$c$$D'$$y$$D'$$|D' \cap U| = |E|$

Sau đó xem xét . Giả sử rằng x ∈ V và x ∉ D ' . Sau đó, chúng ta phải có một nút một ∈ D ' như vậy ( x , một ) ∈ E ' . Do đó có một cạnh ( x , y ) ∈ E như vậy mà chúng ta có một con đường ( x , một , b , c , y ) trong G $D = D' \cap V$$x \in V$$x \notin D'$$a \in D'$$(x,a) \in E'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$. Kể từ khi và một ∈ D ' , chúng tôi có b , c ∉ D ' , và để thống trị c chúng ta phải có y ∈ D ' . Do đó trong G nút y là một người hàng xóm của x với y ∈ D . Đó là, D là một tập hợp thống trị cho G .$a,b,c \in U$$a \in D'$$b, c \notin D'$$c$$y \in D'$$G$$y$$x$$y \in D$$D$$G$

Ngược lại, hãy xem xét một (tối thiểu) thống trị bộ cho G . Xây dựng tập hợp thống trị D ′ cho G ′ sao cho | D ′ | = | D | + | E | như sau: Đối với một cạnh ( x , y ) ∈ E đã được chia để tạo thành một con đường ( x , một , b , c , y ) trong G ' , chúng tôi thêm một đến$D$$G$$D'$$G'$$|D'| = |D| + |E|$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a$ nếu x ∉ D và y ∈ D ; chúng ta thêm c để D ' nếu x ∈ D và y ∉ D ; và nếu không chúng tôi thêm b để D ' . Bây giờ nó có thể được kiểm tra rằng D ' là một bộ trận đấu bên phía cho G ' : Bằng cách xây dựng, tất cả các nút trong U bị chi phối. Bây giờ hãy x ∈ V ∖ D ' . Sau đó, có một y ∈ V sao cho$D'$$x \notin D$$y \in D$$c$$D'$$x \in D$$y \notin D$$b$$D'$$D'$$G'$$U$$x \in V \setminus D'$$y \in V$ , và do đó dọc theo con đường ( x , một , b , c , y ) chúng tôi có một ∈ D ' , mà thống trị x .$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$a \in D'$$x$

Nói tóm lại, nếu có một bộ trận đấu bên phía kích thước k , sau đó G ' có một bộ trận đấu bên phía kích thước tối đa là k + | E | , Và nếu G ' có một bộ thống trị của kích thước k + | E | , sau đó G có một tập hợp kích thước thống trị tối đa k .$G$$k$$G'$$k + |E|$$G'$$k + |E|$$G$$k$

Chỉnh sửa: Đã thêm một minh họa. Top: đồ thị gốc ; giữa: đồ thị G ' với một bộ thống trị "bình thường hóa"; Kết luận: Đồ thị G ' với một bộ trận đấu bên phía tùy ý.$G$$G'$$G'$