Bối cảnh tiên đề (lý thuyết tập hợp) của các phỏng đoán P vs NP và NP = EXPTIME là gì?

Khi phỏng đoán hoặc được thiết lập (ví dụ bằng cách Toán học Viện Clay bởi S. Cook, thấy ở đây ) những gì hệ tiên đề toán học được giả? $\mathbf{P} = \mathbf{NP}$ $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$

Để chứng minh hoặc bác bỏ những tuyên bố như vậy, bạn cần phải giả sử một số tiên đề. Những cái nào? Chỉ có số học Peano (ngôn ngữ chính thức bậc 2)? Các Zermelo-Fraenkel bộ lý thuyết với các tiên đề chọn? Các lý thuyết tập hợp tiên đề nhỏ hơn (ví dụ: các tập hợp có thể xây dựng của Gôdel, trong đó giả thuyết liên tục giữ quá, xem tại đây )?

Rõ ràng, nó phải là một lý thuyết tiên đề chấp nhận vô hạn đếm được. Nhưng cụ thể là gì? Có bất kỳ kết quả được công bố nào sẽ chứng minh chúng phù hợp trong một lý thuyết tập hợp tiên đề cụ thể không? (Nói cách khác, xác định một mô hình trong đó đúng, nhưng không khẳng định là đúng trong tất cả các mô hình).

cc.complexity-theory model-theory

— Constantine
nguồn

nhìn chung nó dựa trên mô hình TM chưa được chứng minh là có bất kỳ sự phụ thuộc cụ thể nào vào việc lựa chọn các tiên đề lý thuyết tập hợp ... cho đến nay!

— vzn

D T I M E (n^{α (n)})

$\mathsf{DTIME}(n^{\alpha(n)})$

α (n)

$\alpha(n)$

xem thêm kết quả trong TCS độc lập với ZFC , điều này cho thấy đại khái là "không nhiều cho đến nay" ...

— vzn

Π_{1}^{0}

$\Pi^0_1$

P \neq N P

$P\neq NP$

S A T

$SAT$

Π_{1}^{0}

$\Pi^0_1$ nói chung .

— Damiano Mazza

@DamianoMazza Cảm ơn Damiano, bạn đã đúng, xin lỗi vì đã đưa ra yêu sách cực kỳ mạnh mẽ.

— Sasho Nikolov

Nó không được chỉ định. Khi có một ứng cử viên đủ nghiêm túc có ý định giải quyết P ≟ NP, một Ủy ban Tư vấn đặc biệt sẽ được thành lập để quyết định xem (và cho ai) trao giải thưởng. Tôi cho rằng Ủy ban Tư vấn đặc biệt sẽ quyết định xem hệ thống tiên đề của bạn có được chấp nhận hay không. Nếu bạn giả sử ZF với sự lựa chọn, tôi đảm bảo với bạn rằng họ sẽ lấy nó. Nếu bạn giả sử P ≠ NP là một tiên đề, tôi đảm bảo với bạn rằng họ sẽ không.

— Peter Shor
nguồn

Sẽ khá thú vị / kỳ quái nếu cần có sự lựa chọn cho bằng chứng (ví dụ ZFC hoạt động, ZF không).

— usul

Tôi cảm ơn mọi người cho câu trả lời của họ cho đến nay. Nó có ý nghĩa rằng nó không được chỉ định và nó là biến mà hệ thống tiên đề (lý thuyết tập hợp) được giả định. Dường như với tôi, trong một lý thuyết tập hợp tiên đề khá hạn chế (hoặc mô hình hạn chế của lý thuyết tập hợp tiên đề), có nhiều khả năng người ta có thể chứng minh rằng NP = EXPTIME và trong một hệ số nhiều hơn (hệ tiên đề hoặc mô hình của lý thuyết tập hợp) có nhiều khả năng hơn NP không phải là EXPTIME (các mức độ khác nhau phức tạp hơn).

— Constantine Kyritsis

Và thậm chí có thể xảy ra rằng người ta có thể đi kèm với một bằng chứng, rằng bên trong Số học Peano (với các tập hợp có thể xác định được từ các công thức logic mà không có tiên đề của lý thuyết tập hợp), các phỏng đoán nổi tiếng là độc lập và không thể chứng minh được (Trừ khi đã có kết quả về những phỏng đoán này bên trong Số học Peano hoặc một đối số không thể đơn giản hơn mà tôi không biết).

— Constantine Kyritsis

Không ai nghiêm túc nghĩ rằng P! = NP độc lập với ZFC. Chúng tôi không biết về bất kỳ tuyên bố toán học không giả định nào độc lập với ZFC (khác với các tuyên bố rõ ràng của Godelian). Kết quả này sẽ không xảy ra.

— David Harris

@usul: Nó không chỉ kỳ quái, mà thực tế là không thể. ZFC bảo thủ hơn ZF đối với các tuyên bố không đối xứng.

— Emil Jeřábek