Phân rã tối thiểu bằng nhau

Với hai polyhedra và Q , P và Q là là equidecomposable nếu có bộ hữu hạn của polyhedra P 1 , ... , P n và Q 1 , ... , Q n mà P i và Q i là đồng dư cho tất cả i , P = ∪ n i = 1 P i và Q = ∪ n i = 1$P$$Q$$P$$Q$$P_1, \ldots, P_n$$Q_1, \ldots, Q_n$$P_i$$Q_i$$i$$P = \cup_{i=1}^n P_i$ . Được biếtrằng nếu P và Q là đa giác diện tích bằng nhau, một ví dụequidecompositionluôn tồn tại và rằng điều nàykhông giữ nói chung cho kích thước cao hơn. $Q = \cup_{i=1}^n Q_i$$P$$Q$

Tôi tò mò về sự phức tạp của vấn đề cân bằng tối thiểu:

Đối với hai đa giác và Q , hãy tìm một equidecomposition P 1 , ... , P n và Q 1 , ... , Q n giảm thiểu n .$P$$Q$$P_1, \ldots, P_n$$Q_1, \ldots, Q_n$$n$

Có các thuật toán (chính xác, đa thức, hàm mũ, xấp xỉ) cho điều này? Là sự phức tạp được biết đến?

Đối với các vùng một chiều bị ngắt kết nối với tọa độ nguyên, phân chia thành một số lượng tối thiểu là NP-hard thông qua việc giảm dễ dàng xuống 3SUM: nếu một hình có các phân đoạn có độ dài là đầu vào 3SUM và hình kia có các phân đoạn có độ dài là các thùng bạn phải đóng gói chúng, sau đó bạn có thể thực hiện mà không cần cắt thêm nếu ví dụ 3SUM có thể giải quyết được. Đối với đa giác hai chiều, nó vẫn cứng, ngay cả đối với các vùng được kết nối: làm dày các phân đoạn của vấn đề một chiều thành hình chữ nhật có chiều cao đơn vị và kết nối chúng bằng các "chuỗi" mỏng có diện tích quá nhỏ để ảnh hưởng đến phần 3SUM của vấn đề nhưng rất dễ xử lý trong phân hủy.

(Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm: Tôi đã mượn ý tưởng giảm này từ một số công việc chung chưa được công bố với nhiều người khác về độ cứng của một số vấn đề khác.)