Mô hình nào của định lý tự động chứng minh là phù hợp cho việc chính thức hóa kiểu nguyên tắc Mathia?

Tôi đang sở hữu một cuốn sách, lấy cảm hứng từ nguyên tắc toán học (PM) của Russell và chủ nghĩa thực chứng logic, cố gắng chính thức hóa một lĩnh vực cụ thể bằng cách xác định các tiên đề và suy luận các định lý từ chúng. Nói tóm lại, nó cố gắng làm cho miền của nó những gì PM đã cố gắng làm cho toán học. Giống như PM, nó đã được viết trước khi chứng minh định lý tự động (ATP) là có thể.

Tôi đang cố gắng biểu diễn các tiên đề này trong một hệ thống ATP hiện đại và cố gắng suy ra các định lý, ban đầu là các suy luận của tác giả (bằng tay). Tôi chưa từng sử dụng hệ thống ATP trước đây và đưa ra vô số lựa chọn (HOL, Coq, Isabelle, và nhiều hơn nữa), mỗi điểm mạnh, điểm yếu và ứng dụng dự định của họ, điều đó chứng tỏ khó quyết định cái nào phù hợp với cụ thể của tôi mục đích.

Hình thức của tác giả phản ánh chặt chẽ PM. Có các lớp (bộ?), Các lớp của lớp, v.v lên đến 6 cấp bậc. Có thứ tự đầu tiên, và có thể logic thứ tự cao hơn. Với mối liên hệ với PM, ban đầu tôi đã điều tra Metamath, vì một số định lý về PM đã được chứng minh trong MetaMath bởi những người khác. Tuy nhiên, Metamath tất nhiên là một trình xác minh bằng chứng chứ không phải hệ thống ATP.

Đi qua các mô tả của các hệ thống ATP khác nhau, tôi thấy một số đặc điểm, chẳng hạn như triển khai lý thuyết loại của Giáo hội, lý thuyết kiểu xây dựng, lý thuyết kiểu trực giác, lý thuyết tập hợp đánh máy, suy luận tự nhiên, các loại tính toán lambda, đa hình, lý thuyết hàm đệ quy và sự tồn tại của bình đẳng (hoặc không). Nói tóm lại, mỗi hệ thống dường như thực hiện một ngôn ngữ rất khác nhau và phải phù hợp để chính thức hóa những thứ khác nhau. Tôi cho rằng các thư viện hiện có để chính thức hóa toán học không liên quan đến mục đích của tôi.

Bất kỳ lời khuyên nào liên quan đến các đặc điểm tôi nên tìm kiếm khi chọn ATP, hoặc bất kỳ lời khuyên nào khác mà bạn có thể có sau khi đọc câu hỏi này, sẽ được đánh giá cao. Để tham khảo, đây là một trang mẫu từ cuốn sách. Thật không may, giống như PM, nó nằm trong ký hiệu Peano-Russell.

Quyển sách -

"Phương pháp tiên đề trong sinh học" (1937), JH Woodger, A. Tarski, WF Floyd

Các tiên đề bắt đầu với các chỉ số. Ví dụ,

$x$$\alpha$$\alpha$$x$$y$$x$$z$$\alpha$$y$

$$S{ = }_{ Df }\hat { x } \hat { \alpha } \{ \alpha \subset \vec { { P }^{ ‘ } } x:.(y):yPx.\supset .(\exists z).z\in \alpha .\vec { { P }^{ ‘ } } y\cap \vec { { P }^{ ‘ } } z\neq \Lambda \}$$

Một lần nữa, lưu ý rằng đây là ký hiệu Peano-Russell (ký hiệu của Princia).

Các tiên đề sau này có nội dung sinh học, như,

7.4.2 Khi giao tử của hai thành viên của lớp Mendel hợp nhất thành cặp để tạo thành hợp tử, xác suất của bất kỳ cặp nào đã cho là hợp nhất với cặp kia.

Điều này, từ những gì tôi hiểu, là một định đề về di truyền học Mendel.

Tôi bỏ qua ký hiệu cho điều này vì nó dài ba dòng và được xây dựng dựa trên nội dung được xác định trước đó.

Ví dụ về một định lý -

Điều này rõ ràng mang một giải thích có ý nghĩa trong di truyền học Mendel, mà, không phải là một nhà sử học về sinh học, tôi không hiểu. Trong cuốn sách, nó đã được suy luận bằng tay.

Cảm ơn!

Princia Mathematica là một phản ứng chủ yếu đối với các nghịch lý khác nhau được phát hiện trong logic toán học vào đầu thế kỷ 20. Tuy nhiên, bản thân tác phẩm thường được ca ngợi là "kiệt tác không thể đọc được" có phần vụng về và nền tảng hiện đại hơn đã được chế tạo. Để mô tả hầu hết toán học, bạn có một số lựa chọn: lý thuyết thể loại là một, lý thuyết loại đã được phổ biến trong một số dự án như là một phần mở rộng của phép tính lambda, nhưng lý thuyết cơ bản nhất được hiểu và cơ bản nhất có lẽ là lý thuyết tập hợp.

Lý thuyết tập hợp có một số công thức khác nhau; Lý thuyết tập hợp Zermelo Frankel với tiên đề của sự lựa chọn là chính thống nhất, được gọi một cách đáng yêu là bởi những người đam mê lý thuyết tập hợp. Lý thuyết tập hợp Tarski-Grothendiek là một lý thuyết khác gần giống với bao gồm tiên đề của Tarski để lý luận về các phạm trù lớn. Đây là những điều thú vị để xác minh, nhưng hơi khó khăn hơn cho việc chứng minh định lý tự động bởi vì lược đồ tiên đề thay thế thừa nhận vô số tiên đề đại diện cho một thách thức khi thực hiện. Mặc dù những nền tảng này là hoàn toàn hợp lý cho các hệ thống xác minh bằng chứng như Mizar cho lý thuyết tập hợp Tarski-Grothendiek và Metamath cho$\sf ZFC$$\sf\ ZFC$$\sf ZFC$, đối với một hệ thống chứng minh định lý thực tế, sẽ rất tốt nếu có axiomatization hữu hạn.

Nền tảng có lẽ phù hợp nhất cho điều đó là lý thuyết tập hợp Von Neumann của Bernays, hay còn gọi là , thừa nhận axiomatization hữu hạn bằng cách là một lý thuyết được sắp xếp có hai bản thể học cũng như các tập hợp. Hơn nữa, người ta đã chứng minh rằng là một phần mở rộng bảo thủ của , do đó, bất kỳ định lý nào về là một định lý của$\sf NBG$$\sf NBG$$\sf ZFC$$\sf NBG$$\sf ZFC$. Lý do mà lý thuyết này là thích hợp nhất cho lý luận tự động theo ý kiến ​​của tôi là nó có thể diễn đạt theo logic thứ tự đầu tiên, nó thừa nhận một phép tính bằng chứng hiệu quả, hợp lý và đầy đủ, và axiomatization hữu hạn có nghĩa là nó có thể được sử dụng với độ phân giải bậc nhất cho chúng ta kết quả gọn gàng: Nếu một tuyên bố là có thể quyết định, cuối cùng một bằng chứng sẽ được tìm thấy.

Logic đề xuất không đủ biểu cảm, và logic bậc cao hơn, trong khi biểu cảm hơn nhiều, không thừa nhận một phép tính bằng chứng hiệu quả, hợp lý và đầy đủ. Logic thứ tự đầu tiên với lý thuyết tập hợp cho phép bạn biểu diễn và ánh xạ các lý thuyết logic bậc cao hơn, vì vậy đối với các nền tảng đó là điểm ngọt ngào ... ngoại trừ khả năng các tuyên bố không thể giải quyết được (nhờ vào Godel.), Đó là lý do tại sao các lý thuyết đầu tiên về thứ hạng lượng tử đủ thường được mô tả là bán quyết định.

Art Quaife đã thực hiện một số công việc này trong: Phát triển tự động các lý thuyết toán học cơ bản, nơi ông đã triển khai theo logic thứ tự đầu tiên ở dạng mệnh đề để nó có thể được sử dụng bởi một nhà hoạt động lý thuyết dựa trên độ phân giải (Rái cá) và một tài liệu tham khảo xuất sắc để giải quyết nền tảng cho loại công việc này là Giới thiệu về logic toán học của Elliott Mendelson .$\sf NBG$

Bây giờ các trợ lý chứng minh hiện đại thường ít quan tâm đến các nền tảng từ mô hình của Princia Mathematia và hữu ích hơn cho việc chứng minh định lý cho công việc hàng ngày, và vì vậy họ có một số hỗ trợ cho các đoạn logic cao hơn, giải SAT / SMT, lý thuyết loại và khác nhiều cách tiếp cận không chính thức và ít nền tảng hơn. Nhưng nếu bạn đang cố gắng làm một cái gì đó như Princia Mathematica, một người ủng hộ định lý độ phân giải thứ tự đầu tiên với một lý thuyết tập hợp thứ tự đầu tiên chính xác là lý tưởng.

Đối với một số ví dụ về cách định lý tự động xử lý các vấn đề từ các nền tảng này, trang web Hàng ngàn vấn đề cho Định lý ( TPTP ) có một số vấn đề hay và bạn sẽ lưu ý rằng nhiều vấn đề cơ bản trong lý thuyết số được thành lập trong đặt lý thuyết. Nếu bạn có thời gian, hãy xem NUM006-1.p trên trang web của họ: phỏng đoán Goldbach. Bạn có thể thử chạy nó, và nếu nó có thể quyết định, cuối cùng sẽ tìm thấy một bằng chứng .$\sf NBG$

Các định lý trong cuốn sách của bạn gần như chắc chắn sẽ là các định lý của cho rằng chúng được viết bằng ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp. Các tiên đề của di truyền học trong cuốn sách đó gần như chắc chắn sẽ được trình bày dưới dạng định nghĩa về các vị từ lý thuyết tập hợp, giống như cách mà số học Peano được biểu thị trong như định nghĩa của các vị ngữ. Từ đó bạn làm theo quy trình giải quyết trong bất kỳ ATP nào. Chọn một tuyên bố bạn muốn chứng minh, phủ nhận nó, chuyển đổi sang dạng bình thường của Skolem, sau đó chuyển sang dạng mệnh đề và làm theo độ phân giải. Khi bạn tìm thấy mệnh đề trống, bạn đã tìm thấy một mâu thuẫn, chứng minh tuyên bố.$\sf NBG$$\sf NBG$

Nhiệm vụ bạn có trong tay nếu bạn muốn cố gắng xác định lý thuyết theo lý thuyết tập hợp, là tìm các định nghĩa vị ngữ quan hệ tách biệt với lý thuyết tập hợp, điều đó sẽ cho phép bạn đưa ra các vị từ theo lý thuyết tập hợp. Một lần nữa, một ví dụ về điều này là cách chúng ta định nghĩa số học Peano trong lý thuyết tập hợp, bản thân nó không có định nghĩa về số, phép cộng, phép nhân hoặc thậm chí là đẳng thức. Như một ví dụ về định nghĩa lý thuyết tập hợp về mối quan hệ như bình đẳng, chúng ta có thể định nghĩa nó theo tư cách thành viên như sau:

$\forall$ xy ( z (z x z y) x = y)$\forall$$\in$$\leftrightarrow$$\in$$\leftrightarrow$

Một chút cảnh báo: đường cong học tập cho điều này thực sự rất dốc. Nếu bạn có ý định theo đuổi điều này, bạn có thể thấy mình vài năm trước khi nắm bắt được toàn bộ vấn đề, như kinh nghiệm của tôi. Bạn có thể muốn kiểm tra lý thuyết từ một cách tiếp cận ít nền tảng hơn trước khi thực hiện nhiệm vụ to lớn là nhúng nó vào một ngôn ngữ nền tảng cho mọi thứ. Rốt cuộc, bạn không nhất thiết phải suy luận về các bộ gen không thể đếm được.

Một số điểm:

1. Theo như tôi biết, về cơ bản , Mathia Mathematica sử dụng chính thức hóa lý thuyết tập hợp bằng cách sử dụng logic thứ tự đầu tiên được gõ. Do đó, sẽ rất hấp dẫn khi sử dụng một người cung cấp định lý tự động bậc nhất như Châm ngôn 9 hoặc có thể là ACL2 để chính thức hóa các phát biểu của bạn. Tuy nhiên, tôi đang thấy một số cấu trúc lý thuyết tập hợp (như ,$\in$$\cap, \subset$ ) trong đó, thường không chơi rất tốt với ATP đặt hàng đầu tiên.

2. Bất kỳ trợ lý chứng minh tương tác hiện đại nào chắc chắn sẽ có tính biểu cảm để chính thức hóa và chứng minh tuyên bố của bạn, như Andrej đã đề xuất. Trên thực tế, vì dường như có một số tuyên bố bao gồm số học, nên sử dụng một hệ thống như Isabelle , Coq hoặc HOL đã có lý thuyết rộng rãi để xử lý các tuyên bố về số học. Tôi nhấn mạnh vào hiện đại không phải là một sự trùng hợp ngẫu nhiên: những bước tiến lớn về khả năng sử dụng đã được thực hiện kể từ Automath, và tôi thành thật nghĩ rằng bạn sẽ tự làm mất tinh thần bằng cách sử dụng bất cứ thứ gì đã được phát triển tích cực từ những năm 90 (nếu bạn thậm chí có thể có được làm việc!)

3. Cuối cùng, ITP và ATP có những đường cong học tập khá thách thức và bạn không nên mong đợi có thể nhập các định lý này vào một hệ thống như thể bạn đang viết một bằng chứng . Mong đợi sự thất vọng nghiêm trọng và mất thời gian, đặc biệt là trong những tháng đầu tiên (có, tháng). Bạn chắc chắn cần phải làm việc thông qua một số hướng dẫn lúc đầu trước khi đi đến chính thức hóa.$\LaTeX$