chỉnh sửa: Tôi chỉ nhận ra một số điều tôi viết là hoàn toàn vô nghĩa, xin lỗi vì điều đó. Bây giờ tôi đã thay đổi bằng chứng và đưa ra định nghĩa về máy xác suất tôi đang sử dụng chính xác hơn.
Tôi không biết liệu tôi có hiểu đúng định nghĩa của bạn về máy Turing xác suất hay không: đó là một máy có băng bổ sung, trong đó một chuỗi không thể nén vô hạn được viết, và bên cạnh đó nó hoạt động giống như một máy xác định? Nếu chúng ta sửa chuỗi không thể nén, lớp chúng ta nhận được dường như không thú vị.
Tôi nghĩ rằng chúng ta có thể định nghĩa một máy Turing xác suất theo nhiều cách. Tôi sẽ sử dụng một định nghĩa có vẻ khá tự nhiên (và bằng chứng của tôi hoạt động;) Hãy xác định một máy xác suất như thế: nó lấy một băng bổ sung mà một chuỗi vô hạn được viết, chúng tôi nói rằng máy này quyết định ngôn ngữ nếu mỗi x ∈ L nó dừng lại và chấp nhận với xác suất > 1Lx∈L , khi xác suất được lấy trên các chuỗi ngẫu nhiên bổ sung đó và với mỗix∉L,nó dừng lại và từ chối với xác suất>1>12x∉L .> 12
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu tồn tại một máy xác suất giải quyết vấn đề tạm dừng cho các máy xác định, chúng ta có thể sử dụng nó để xây dựng một máy xác định H giải quyết vấn đề tạm dừng cho các máy xác định - và chúng ta biết rằng đó là một máy như vậy không thể tồn tạiPH
Giả sử tồn tại. Chúng ta có thể xây dựng một máy xác định M lấy đầu vào là máy xác suất R với một số đầu vào x ,PMRx
- tạm dừng và chấp nhận khi và chỉ khi chấp nhận x (tức là R tạm dừng và chấp nhận x trên hơn một nửa chuỗi ngẫu nhiên).RxRx
- tạm dừng và từ chối khi và chỉ khi từ chối x (tức là R dừng và từ chối x trên hơn một nửa chuỗi ngẫu nhiên).RxRx
- vòng lặp khác
Về cơ bản, sẽ cho tất cả i ∈ 1 , 2 , . . . mô phỏng R trên đầu vào x và trên mọi chuỗi từ 0 , 1 i làm tiền tố của chuỗi trên băng ngẫu nhiên của R. Hiện nay:Mi ∈ 1 , 2 , . . .Rx0 , 1tôiR
- nếu cho tiền tố có độ dàiiRtạm dừng và được chấp nhận mà không cố đọc nhiều hơnibit từ băng ngẫu nhiên,Mdừng lại và chấp nhận> 12tôi RtôiM
- nếu cho tiền tố có độ dàiiRtạm dừng và bị từ chối mà không cố đọc nhiều hơnibit từ băng ngẫu nhiên,Mtạm dừng và từ chối> 12tôi RtôiM
- mặt khác chạy mô phỏng với i : = i + 1 .Mi : = i + 1
Chúng ta phải tự thuyết phục ngay bây giờ, rằng nếu chấp nhận (từ chối) x với xác suất p > 1Rx , sau đó đối với một sốtôisẽ chấp nhận (từ chối) cho>1p > 12tôi tiền tố có độ dàiicủa chuỗi ngẫu nhiên mà không cố đọc nhiều hơnibit từ băng ngẫu nhiên. Đây là kỹ thuật, nhưng khá dễ dàng - nếu chúng ta giả sử khác thì xác suất chấp nhận (từ chối) tiếp cậnp>1> 12tôitôi khitôiđi đến vô cùng, do đó đối với một sốtôisẽ phải làp>1p > 12tôitôi .p > 12
Bây giờ chúng ta chỉ xác định máy xác định giải quyết vấn đề tạm dừng (nghĩa là quyết định xem một máy xác định đã cho N có chấp nhận một từ đã cho x ) a là H ( N , x ) = M ( P ( N , x ) ) hay không . Lưu ý rằng M ( P ( N , x ) ) luôn dừng lại, bởi vì việc quyết định ngôn ngữ bằng các máy xác suất của chúng tôi được xác định theo cách mà một trong hai điều đó luôn xảy ra:HNxH( N, x ) = M( P( N, x ) )M( P( N, x ) )
- Máy tạm dừng và chấp nhận hơn một nửa chuỗi ngẫu nhiên
- Máy dừng lại và từ chối hơn một nửa chuỗi ngẫu nhiên.