Xáo trộn mã thông báo trên biểu đồ bằng cách hoán đổi cục bộ

Đặt là một đồ thị được kết nối không thường xuyên có mức độ giới hạn. Giả sử rằng mỗi nút chứa một mã thông báo duy nhất. $G= (V, E)$

Tôi muốn xáo trộn đồng đều các mã thông báo giữa các biểu đồ chỉ bằng cách hoán đổi cục bộ (tức là trao đổi mã thông báo giữa hai nút liền kề)? Có một giới hạn thấp hơn được biết đến cho vấn đề này?

Ý tưởng duy nhất tôi có là sử dụng kết quả đi bộ ngẫu nhiên, sau đó để xem tôi cần bao nhiêu lần hoán đổi để "mô phỏng" hiệu ứng của các bước đi ngẫu nhiên vận chuyển mã thông báo trên biểu đồ.

ds.algorithms random-walks dc.distributed-comp

— Sylvain Peyronnet
nguồn

Những loại ràng buộc thấp hơn bạn đang tìm kiếm? Tổng số lần hoán đổi? Số vòng song song (nghĩa là trong 1 bước bạn có thể hoán đổi dọc theo tất cả các cạnh của khớp trong

) không? Giới hạn dưới như một hàm của

? Có phải tất cả các nút đều biết cấu trúc liên kết của

(và có thể điều chỉnh hành vi của chúng phù hợp) hay bạn đang tìm kiếm một chiến lược cố định mà bạn có thể áp dụng trong bất kỳ biểu đồ nào?

G

$G$

| V |

$|V|$

d i a m (G)

$diam(G)$

G

$G$

— Jukka Suomela

Tôi nên đã được cụ thể hơn, xin lỗi. Mục tiêu là thiết kế một phương pháp phổ biến dữ liệu cho các mạng cảm biến để tránh các vấn đề của các phương pháp dựa trên bước đi ngẫu nhiên (về cơ bản là mất thông tin do một số mã thông báo va chạm tại cùng một nút). Vì vậy, tôi quan tâm đến tổng số lần hoán đổi (điều này sẽ đưa ra số lượng tin nhắn lưu hành trong mạng) và số vòng (để có ước tính sơ bộ về thời gian hội tụ). LB là một chức năng của

là tốt và các nút không nhận biết cấu trúc liên kết (không may).

V

$V$

— Sylvain Peyronnet

Câu trả lời:

Giả sử đồ thị của bạn là một đường dẫn. Tôi nghĩ sau đó vấn đề này trở nên tương đương với việc sắp xếp một chuỗi số ngẫu nhiên trong một mảng bằng cách hoán đổi các mục liền kề. Ngay cả trong số tất cả các nút đều nhận thức được cấu trúc liên kết, bạn nhận được ^ 2 ràng buộc thấp hơn về số lượng giao dịch hoán đổi (không thể làm tốt hơn so với sắp xếp bong bóng là n ^ 2 ngay cả trên một đầu vào ngẫu nhiên).

— Lev Reyzin
nguồn

O (n^{2})

$O(n^2)$

LB này nói rằng bạn không thể cải thiện thuật toán ngay cả khi bạn có thể chọn giao dịch hoán đổi của mình .... nhưng đúng, tôi đoán vấn đề có thể trở nên dễ dàng hơn khi mức độ (trung bình?) Tăng lên.

— Lev Reyzin

Tôi sẽ lên lịch một số mô phỏng để xem mọi thứ diễn ra như thế nào khi mức độ đang tăng lên.

— Sylvain Peyronnet

Trên thực tế, có vẻ như LB này (với một số sửa đổi) sẽ giữ ngay cả khi hai đầu của đường dẫn có các cụm lớn - như trong 2 cụm trên n / 4 được kết nối bằng một đường dẫn gồm n / 2 nút. Bây giờ mức độ trung bình là O (n), nhưng bạn vẫn không thể đánh bại n ^ 2. Có lẽ chúng ta cần áp đặt một mức độ tối thiểu?

— Lev Reyzin

Có, chúng tôi cần một mức độ tối thiểu :(

— Sylvain Peyronnet

Tôi muốn chỉ ra mối quan hệ giữa vấn đề này và các mạng sắp xếp. Ví dụ: nếu biểu đồ của bạn là một đường dẫn, thì mạng sắp xếp độ sâu tuyến tính tầm thường cũng cho thấy rằng bạn có thể có được bất kỳ hoán vị nào trong số vòng tuyến tính. Hơn nữa, điều này là chặt chẽ, vì chỉ cần hoán đổi các yếu tố tại các điểm cuối của đường dẫn đòi hỏi một số vòng tuyến tính.

Các mạng phân loại AKS cho thấy có các biểu đồ trong đó bạn có thể có được bất kỳ hoán vị nào trong số vòng logarit. Đối với trường hợp biểu đồ lưới, xem ví dụ: các ghi chú bài giảng này .

(Tất nhiên việc sắp xếp và xáo trộn là những vấn đề khác nhau, nhưng nhiều giới hạn trên và dưới có liên quan. Ví dụ: chọn nhãn ngẫu nhiên và sắp xếp theo nhãn.)

— Jukka Suomela
nguồn

Cảm ơn con trỏ. Tôi sẽ đào theo hướng này, có thể đó không phải là thứ tôi cần ở đây (tôi không chắc liệu tôi có loại đồ thị tốt hay không) nhưng chắc chắn nó sẽ là thứ tôi sẽ sử dụng sớm hay muộn!

— Sylvain Peyronnet