Độ phức tạp truy vấn ngẫu nhiên của vấn đề cây dính liền

Một bài báo quan trọng năm 2003 của Childs et al.đã giới thiệu "vấn đề cây dính liền": một vấn đề thừa nhận sự tăng tốc lượng tử theo cấp số nhân không giống với bất kỳ vấn đề nào khác mà chúng ta biết. Trong bài toán này, chúng tôi đã đưa ra một biểu đồ lớn theo cấp số nhân như hình dưới đây, bao gồm hai cây nhị phân hoàn chỉnh có độ sâu n, có các lá được kết nối với nhau theo một chu kỳ ngẫu nhiên. Chúng tôi được cung cấp nhãn của đỉnh ENTRANCE. Chúng tôi cũng được cung cấp một lời sấm truyền, được đưa ra như là đầu vào nhãn của bất kỳ đỉnh nào, cho chúng tôi biết nhãn của hàng xóm của nó. Mục tiêu của chúng tôi là tìm đỉnh EXIT (có thể dễ dàng nhận ra, là đỉnh cấp 2 duy nhất trong biểu đồ khác với đỉnh ENTRANCE). Chúng ta có thể giả sử rằng các nhãn là các chuỗi ngẫu nhiên dài, do đó với xác suất áp đảo,đỉnh khác với đỉnh ENTRANCE sẽ được đưa ra bởi nhà tiên tri.

Trẻ em và cộng sự. đã chỉ ra rằng thuật toán đi bộ lượng tử có thể đơn giản chuyển qua biểu đồ này và tìm đỉnh EXIT sau các bước poly (n). Ngược lại, họ cũng chỉ ra rằng bất kỳ thuật toán ngẫu nhiên cổ điển nào cũng yêu cầu các bước exp (n) để tìm đỉnh EXIT với xác suất cao. Họ tuyên bố giới hạn dưới của họ là (2 ^{n / 6} ), nhưng tôi tin rằng kiểm tra kỹ hơn về năng suất chứng minh của họ (2 ^{n / 2} ). Theo trực giác, điều này là do với xác suất áp đảo, việc đi bộ ngẫu nhiên trên biểu đồ (thậm chí là tự đi bộ, v.v.) sẽ bị mắc kẹt ở khu vực giữa rộng lớn trong một khoảng thời gian theo cấp số nhân: bất cứ khi nào người đi bộ bắt đầu hướng tới EXIT , số cạnh lớn hơn nhiều so với EXIT sẽ hoạt động như một "lực đẩy" đẩy nó lùi về giữa.

Cách họ chính thức hóa đối số là chỉ ra rằng, cho đến khi nó truy cập ~ 2 ^{n / 2} đỉnh, một thuật toán ngẫu nhiên thậm chí không tìm thấy bất kỳ chu kỳ nào trong biểu đồ: biểu đồ con cảm ứng mà nó nhìn thấy cho đến nay chỉ là một cái cây, không cung cấp thông tin bất cứ điều gì về nơi đỉnh EXIT có thể.

Tôi quan tâm đến việc xác định độ phức tạp truy vấn ngẫu nhiên của vấn đề này chính xác hơn. Câu hỏi của tôi là:

Bất cứ ai cũng có thể đưa ra một thuật toán cổ điển tìm thấy đỉnh EXIT trong ít hơn ~ 2 ⁿ bước --- giả sử, trong O (2 ^{n / 2} ) hoặc O (2 ^{2n / 3} )? Ngoài ra, bất cứ ai cũng có thể đưa ra một giới hạn thấp hơn tốt hơn Ω (2 ^{n / 2} )?

(Lưu ý rằng, theo nghịch lý sinh nhật, không khó để tìm thấy các chu kỳ trong biểu đồ sau các bước O (2 ^{n / 2} ). Câu hỏi đặt ra là liệu người ta có thể sử dụng các chu kỳ để có bất kỳ manh mối nào về đỉnh của EXIT không.)

Nếu bất cứ ai cũng có thể cải thiện quá khứ giới hạn dưới Ω (2 ^{n / 2} ), thì theo hiểu biết của tôi, điều này sẽ cung cấp ví dụ đầu tiên có thể chứng minh được về một vấn đề hộp đen với tốc độ lượng tử theo cấp số nhân, có độ phức tạp truy vấn ngẫu nhiên lớn hơn √N . (Trong đó N ~ 2 ⁿ là kích thước bài toán.)

Cập nhật: Tôi đã học được từ Andrew Childs rằng, trong ghi chú này , Fenner và Zhang cải thiện rõ ràng giới hạn dưới ngẫu nhiên cho các cây dính liền thành (2 ^{n / 3} ). Nếu họ sẵn sàng chấp nhận xác suất thành công không đổi (thay vì theo cấp số nhân), tôi tin rằng họ có thể cải thiện giới hạn hơn nữa, đến (2 ^{n / 2} ).

$O(n2^{n/2})$

$n/2$$O(2^{n/2})$$n+1$$X$$n+1$

$X$$Y$$O(2^{n/2})$$n/2$$Y$$n/2$$X$$Y$$Y$$O(2^{n/2})$$X_2$$n+2$

$n+3$$X_2$$n/2$$n/2$$X_2$

$n$$O(n2^{n/2})$

$X_t$$X_{t+1}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$X_t$.