Xác suất tạo ra một hoán vị mong muốn bằng cách hoán đổi ngẫu nhiên

Tôi quan tâm đến vấn đề sau. Chúng tôi được cung cấp dưới dạng "hoán vị mục tiêu" , cũng như danh sách các chỉ số . Sau đó, bắt đầu với danh sách (nghĩa là hoán vị danh tính), tại mỗi thời điểm bước chúng ta trao đổi phần trong với phần tử, với xác suất độc lập . Đặt là xác suất mà được tạo ra như đầu ra.i 1 , ... , i m ∈ [ n - 1 ] L = ( 1 , 2 , ... , n ) t ∈ [ m ] i t h t L ( i t + 1 ) s t 1 / 2 p $\sigma\in S_n$$i_1,\ldots,i_m\in [n-1]$$L=(1,2,\ldots,n)$$t\in [m]$$i_t^{th}$$L$$(i_t+1)^{st}$$1/2$$p$$\sigma$

Tôi muốn biết (bất kỳ) sau đây:

• Là quyết định xem có phải là vấn đề -complete không?N $p>0$$NP$
• Là tính chính xác -complete?# $p$$\#P$
• Chúng ta có thể nói gì về việc xấp xỉ trong một hằng số nhân? Có một PTAS cho điều này?$p$

Biến thể mà các giao dịch hoán đổi không cần phải là các yếu tố liền kề cũng được quan tâm.

Lưu ý rằng không khó để giảm vấn đề này thành các đường dẫn tách rời (hoặc thành luồng đa dòng có giá trị nguyên); những gì tôi không biết là giảm theo hướng khác.

Cập nhật: OK, kiểm tra Garey & Johnson, vấn đề của họ [MS6] ("Tạo phép") như sau. Được đưa vào làm đầu vào hoán vị mục tiêu , cùng với các tập hợp con , quyết định xem có thể biểu thị như một sản phẩm , trong đó mỗi hoạt động một cách tầm thường tất cả các chỉ số không có trong . Rất tiếc , Garey, Johnson, Miller và Papadimitriou (đằng sau một tường thành, không may) chứng minh rằng vấn đề này là -hard.$\sigma\in S_n$σ τ 1 ⋯ τ m τ i S $S_1,\ldots,S_m\in [n]$$\sigma$$\tau_1 \cdots \tau_m$$\tau_i$$S_i$$NP$

Nếu các giao dịch hoán đổi không cần phải liền kề, thì tôi tin rằng điều này ngụ ý rằng việc quyết định xem cũng là -hard. Việc giảm chỉ đơn giản là thế này: với mỗi theo thứ tự, chúng tôi sẽ cung cấp một bộ "giao dịch hoán đổi ứng viên" tương ứng với một mạng sắp xếp hoàn chỉnh trên (nghĩa là có khả năng cho phép tùy ý, trong khi hành động tầm thường mọi thứ khác). Sau đó, sẽ có thể biểu thị dưới dạng , nếu và chỉ khi nó có thể truy cập như một sản phẩm của các giao dịch hoán đổi này.N P S 1 , S 2 , ... S i S i σ τ 1 ⋯ τ $p>0$$NP$$S_1,S_2,\ldots$$S_i$$S_i$$\sigma$$\tau_1 \cdots \tau_m$

Điều này vẫn để mở phiên bản "gốc" (trong đó các giao dịch hoán đổi chỉ là các yếu tố liền kề). Đối với phiên bản đếm (với các giao dịch hoán đổi tùy ý), tất nhiên gợi ý mạnh mẽ rằng vấn đề phải là -complete. Trong mọi trường hợp, nó loại trừ PTAS trừ khi .P = N $\#P$$P=NP$

Tôi nghĩ rằng liệu p> 0 có thể được quyết định trong thời gian đa thức.

Vấn đề trong câu hỏi có thể dễ dàng được đưa ra như vấn đề đường dẫn tách rời, trong đó đồ thị bên dưới là đồ thị phẳng gồm các lớp m +1 mỗi lớp chứa n đỉnh, cộng với đỉnh m độ 4 để biểu thị các hoán đổi liền kề có thể. Lưu ý rằng tính đồng nhất của biểu đồ này xuất phát từ thực tế là chúng tôi chỉ cho phép các giao dịch hoán đổi liền kề.

Nếu tôi không nhầm, điều này rơi vào trường hợp đặc biệt của vấn đề đường dẫn tách rời được giải quyết bởi Okamura và Seymour [OS81]. Ngoài ra, Wagner và Weihe [WW95] đưa ra thuật toán thời gian tuyến tính cho trường hợp này.

Xem thêm các ghi chú bài giảng của Goemans [Goe12], trong đó đưa ra một giải thích hay về định lý Okamura Jason Seymour và thuật toán Wagner nhạc Weihe.

Người giới thiệu

[Goe12] Michel X. Goemans. Ghi chú bài giảng, 18.438 Tối ưu hóa kết hợp nâng cao, Bài giảng 23 . Viện Công nghệ Massachusetts, Mùa xuân 2012. http://math.mit.edu/~goemans/18438S12/lec23.pdf

[OS81] Haruko Okamura và Paul D. Seymour. Dòng chảy đa dạng trong đồ thị phẳng. Tạp chí Lý thuyết kết hợp, sê-ri B , 31 (1): 75 Mu8181, tháng 8 năm 1981. http://dx.doi.org/10.1016/S0095-8956(81)80012-3

[WW95] Dorothea Wagner và Karsten Weihe. Một thuật toán thời gian tuyến tính cho các đường dẫn tách rời cạnh trong đồ thị phẳng. Combinatorica , 15 (1): 135 thoái150, tháng 3 năm 1995. http://dx.doi.org/10.1007/BF01294465