Sự tồn tại của các đường dẫn dài gây ra trong đồ thị giãn nở

Giả sử một họ đồ thị $\mathcal{F}$ có các đường dẫn cảm ứng dài nếu có hằng số sao cho mọi đồ thị trong chứa một đường dẫn cảm ứng trên các đỉnh . Tôi quan tâm đến các thuộc tính của các họ đồ thị đảm bảo sự tồn tại của các đường dẫn dài. Cụ thể, tôi hiện đang tự hỏi liệu các bộ mở rộng mức độ không đổi có đường dẫn dài gây ra không. Đây là những gì tôi biết.G F | V ( G ) | $\epsilon > 0$$G$$\mathcal{F}$$|V(G)|^{\epsilon}$

• Các biểu đồ ngẫu nhiên với mức độ trung bình không đổi (trong mô hình Erdős của Rényi) có các đường dẫn dài (thậm chí kích thước tuyến tính) với xác suất cao; xem ví dụ bài viết của Suen .
• Các đồ thị giãn nở lân cận duy nhất (theo định nghĩa của Alon và Copalbo ) có các cây cảm ứng lớn . Trong thực tế, bất kỳ cây cảm ứng tối đa là lớn trong các biểu đồ như vậy.

Với hai sự thật này, tôi sẽ mong đợi rằng các bộ mở rộng mức độ có các đường dẫn dài. Tuy nhiên, tôi không thể tìm thấy bất kỳ kết quả cụ thể. Bất kỳ hiểu biết đều được đánh giá cao.

Câu trả lời nên tích cực nếu đồ thị giáp độ của bạn có tính chất của việc mở rộng liên tục và cả chu vi. Đối số sẽ là: bắt đầu từ một đỉnh, sau đó cho n ϵ bước đi trong đó mỗi bước được chọn ngẫu nhiên trong số những bước không đưa chúng ta trở lại nơi chúng ta là bước trước. (Vì vậy, nếu đồ thị là d -regular chúng tôi đã d - 1 . Lựa chọn ngẫu nhiên ở mỗi bước)$\Omega( \log n)$$n^\epsilon$$d$$d-1$

Bây giờ tôi khẳng định rằng, với mỗi và j , nếu tôi nhìn vào các bước i và j của bước đi, xác suất có một cạnh giữa đỉnh ở bước i và đỉnh ở bước j là n - Ω ( 1 ) . Sau đó, nếu ε được chọn đủ nhỏ, một liên minh thuế ràng buộc sẽ cho thấy rằng đi bộ sẽ tạo ra một con đường với xác suất 1 - o ( 1 ) . $i$$j$$i$$j$$i$$j$$n^{-\Omega(1)}$$\epsilon$$1-o(1)$

Nếu nhỏ hơn chu vi, thì xác suất của cạnh giữa i và j chỉ bằng không. Nếu j > i + Ω ( log n ) , sau đó mở rộng của đồ thị nên là đủ để cho rằng sự tồn tại của cạnh ( i , j ) sẽ xảy ra với xác suất n - Ω ( 1 ) . Điều này là do, đối với một đỉnh bắt đầu cố định v , phân bố bước đi sau một số bước bằng với chu vi là đồng nhất trên một tập hợp kích thước$|i-j|$$i$$j$$j> i+ \Omega(\log n)$$(i,j)$$n^{-\Omega(1)}$$v$ và do đó có xác suất va chạm n - Ω ( 1 ) ; mỗi bước tiếp theo chỉ nên làm giảm xác suất va chạm (điều này đúng với bước đi ngẫu nhiên thực tế, nhưng cũng đúng với bước đi không quay lại này), và do đó xác suất va chạm, và do đó, entropy tối thiểu của phân phối vẫn tồn tại n - Ω ( 1 ) , và khả năng đánh một trong những O ( 1 ) hàng xóm của v cũng là n - Ω ( 1 ) .$n^{\Omega(1)}$$n^{-\Omega(1)}$$n^{-\Omega(1)}$$O(1)$$v$$n^{-\Omega(1)}$