Vấn đề

Tôi có một biểu đồ vô hướng (có nhiều cạnh), sẽ thay đổi theo thời gian, các nút và cạnh có thể được chèn và xóa. Trên mỗi sửa đổi của biểu đồ, tôi phải cập nhật các thành phần được kết nối của biểu đồ này.

Tính chất

Các thuộc tính bổ sung là sẽ không có hai thành phần nào được kết nối lại. Rõ ràng, biểu đồ có thể có chu kỳ đến một lượng tùy ý (nếu không thì giải pháp sẽ là tầm thường). Nếu một cạnh không chứa nút , nó sẽ không bao giờ chấp nhận nút đó. Tuy nhiên, nếu , nó có thể thay đổi thành .$e$$n$$n \in e$$n \notin e$

Phương pháp tiếp cận

Tôi có hai cách tiếp cận có thể cho đến nay, nhưng như bạn sẽ thấy chúng thật kinh khủng:

Nhà nước chậm

Tôi có thể tìm kiếm (dfs / bfs) biểu đồ bắt đầu từ (các) phần tử được sửa đổi mỗi lần. Điều này bảo tồn không gian, nhưng chậm vì chúng ta có O (n + m) cho mỗi sửa đổi.

Cách tiếp cận nhanh (-er) (?)

Tôi có thể lưu trữ tất cả các đường dẫn có thể cho mỗi nút cho tất cả các nút có thể, nhưng nếu tôi thấy nó chính xác, điều này sẽ chiếm bộ nhớ O (n ^ 4). Nhưng tôi không chắc cách cải thiện thời gian chạy là như thế nào (nếu có một cái, vì tôi phải giữ thông tin cập nhật cho mọi nút trong cùng một thành phần).

Câu hỏi

Bạn có bất kỳ con trỏ, làm thế nào tôi có thể tìm hiểu thêm về vấn đề đó hoặc có lẽ một số thuật toán tôi có thể xây dựng?

Ghi chú

Nếu có một sự cải thiện lớn về thời gian chạy / bộ nhớ, tôi có thể sống với một giải pháp không tối ưu mà đôi khi nói hai thành phần là một, nhưng tất nhiên tôi sẽ thích một giải pháp tối ưu hơn.

Có một số cấu trúc dữ liệu hỗ trợ chèn cạnh, xóa cạnh và truy vấn kết nối (Hai đỉnh này có nằm trong cùng một thành phần được kết nối không?) Trong thời gian đa giác.

• Monika R. Henzinger và Vua Valerie. Các thuật toán đồ thị hoàn toàn ngẫu nhiên với thời gian đa bội cho mỗi hoạt động . Tạp chí ACM 46 (4): 502 Wap516, 1999.

• Jacob Holm, Kristian de Lichtenberg và Mikkel Thorup. Các thuật toán hoàn toàn xác định đa logarit cho kết nối, cây bao trùm tối thiểu, 2 cạnh và hai mặt , Tạp chí ACM 48 (4): 723 điều760, 2001.

• Mikkel Thorup. Kết nối đồ thị hoàn toàn năng động gần tối ưu . Proc. STOC 343 số 350, 2000.

Tôi nghĩ rằng bạn đang tìm kiếm cái được gọi là thuật toán đồ thị động để phân tách thành phần được kết nối. Thuật toán của Holm, de Lichtenberg và Thorup [HLT01] đã khấu hao thời gian polylogarithmic trên mỗi cập nhật cạnh. Đã lâu rồi tôi mới xem xét vấn đề lần trước, nên có lẽ có nhiều tiến bộ gần đây.

[HLT01] Jacob Holm, Kristian de Lichtenberg và Mikkel Thorup. Các thuật toán xác định hoàn toàn động lực học đa logarit cho kết nối, cây bao trùm tối thiểu, 2 cạnh và hai mặt. Tạp chí ACM , 48 (4): 723 Từ760, tháng 7 năm 2001. http://doi.acm.org/10.1145/502090.502095

(Hiện tại, hãy để tôi sử dụng các truy vấn kết nối, điều không may là có thể không đủ cho ứng dụng của bạn.)

Nhiều công việc trước đây về vấn đề kết nối động nằm trong mô hình cập nhật cạnh: bạn giả sử số lượng đỉnh được cố định và bạn có thể chèn và / hoặc xóa các cạnh trong khi thực hiện truy vấn. Nếu bạn chỉ có thể chèn (xóa), đó là gia tăng (giảm dần). Nếu bạn có thể làm cả hai, đó là hoàn toàn năng động. Các tác phẩm của Thorup như được chỉ ra bởi JeffE (và bản thân tôi trong phần bình luận) đều dành cho các bản cập nhật cạnh.

AFAIK, cộng đồng lý thuyết CS chỉ mới bắt đầu xem xét các cập nhật đỉnh cho các biểu đồ chung. Có một công trình đột phá về vấn đề này của Chan, Pătraşcu và Roditty trong FOCS 2008. Xem liên kết này để xem bản sửa đổi rất gần đây (tháng 9 năm 2010) và các tài liệu tham khảo trong đó.