Ở mức độ nào thì toán học của Real có thể được áp dụng cho Real Computable?

Có một định lý chung sẽ nêu rõ, với việc vệ sinh đúng cách, rằng hầu hết các kết quả được biết đến liên quan đến việc sử dụng số thực có thể được sử dụng khi chỉ xem xét các số thực có thể tính toán được không? Hoặc có một đặc tính thích hợp của các kết quả vẫn còn hiệu lực khi chỉ xem xét các thực tế tính toán? Một câu hỏi phụ là liệu các kết quả liên quan đến thực tế tính toán có thể được chứng minh mà không cần phải xem xét tất cả thực tế, hoặc bất cứ điều gì không thể tính toán được. Tôi đang suy nghĩ cụ thể về tính toán và phân tích toán học, nhưng câu hỏi của tôi không giới hạn ở điều đó.

Trên thực tế, tôi cho rằng có một hệ thống phân cấp các thực thể tính toán tương ứng với hệ thống phân cấp Turing (Điều đó có đúng không?). Sau đó, một cách trừu tượng hơn, có một lý thuyết trừu tượng về thực tế (tôi không chắc thuật ngữ nên là gì), trong đó một số kết quả có thể được chứng minh, sẽ áp dụng cho các số thực truyền thống, nhưng cũng cho các số thực tính toán, và đến bất kỳ cấp độ nào của hệ thống phân cấp Turing của các thực thể tính toán, nếu nó tồn tại.

Sau đó, câu hỏi của tôi có thể có thể được nêu ra là: Có một đặc tính của các kết quả sẽ được áp dụng trong lý thuyết trừu tượng về thực tế khi chúng đã được chứng minh cho các thực tế truyền thống. Và, những kết quả này có thể được chứng minh trực tiếp trong lý thuyết trừu tượng, mà không cần xem xét các thực tế truyền thống.

Tôi cũng quan tâm đến việc hiểu làm thế nào và khi nào những lý thuyết về thực tế phân kỳ.

PS Tôi không biết nơi nào phù hợp với câu hỏi này. Tôi nhận ra rằng rất nhiều toán học trên thực tế đã được khái quát hóa với cấu trúc liên kết. Vì vậy, nó có thể là câu trả lời cho câu hỏi của tôi, hoặc một phần của nó, có thể được tìm thấy ở đó. Nhưng cũng có thể có nhiều hơn cho nó.

Các số thực có thể được mô tả theo một vài cách, chúng ta hãy làm việc với trường theo thứ tự Archishedean hoàn chỉnh . (Chúng ta cần cẩn thận một chút về cách chính xác chúng ta nói điều này, xem Định nghĩa 11.2.7 và 11.2.10 của sách HoTT .)

Định lý sau đây là hợp lệ trong bất kỳ topos (một mô hình logic trực giác bậc cao):

Định lý: Có một trường theo thứ tự lưu trữ hoàn chỉnh theo kiểu Cauchy, và trên thực tế, bất kỳ hai trường nào như vậy đều là đẳng cấu.

Hơn nữa, trong logic trực giác (không bị nhầm lẫn với trực giác ), chúng ta có thể thực hiện nhiều phân tích thực (trình tự và giới hạn, dẫn xuất, tích phân, liên tục, liên tục thống nhất, v.v.) mà sau đó có giá trị trong bất kỳ topos nào. Nếu chúng ta lấy topos của bộ, chúng ta sẽ có được phân tích thực tế thông thường. Bằng cách lấy một topos khác nhau, chúng ta có được một loại phân tích thực khác nhau - và có một topos mang lại chính xác các thực tế tính toán và phân tích thực tính toán.

Tất nhiên đây là topos hiệu quả , trong đó con số thực là các số thực có thể tính toán được (nói một cách mơ hồ, lý do cho điều này là các topos hiệu quả được xây dựng theo cách mà mọi thứ trong đó đều tự động tính toán được). Câu trả lời cho câu hỏi của bạn là

Các định nghĩa, cấu trúc và định lý trong phân tích thực trực giác được tự động dịch sang các định nghĩa, cấu trúc và định lý về các thực thể tính toán khi chúng ta giải thích chúng trong các topos hiệu quả.

$f : [0,1] \to \mathbb{R}$ đạt được tối cao của nó" có giá trị trực giác. Khi chúng tôi giải thích nó trong các topos hiệu quả, chúng tôi nhận được phiên bản tương ứng cho các bản đồ có thể tính toán trên các thực thể tính toán được tính toán đồng đều liên tục.

Bạn cũng hỏi về "sự khác biệt" giữa phân tích thực và phiên bản tính toán của nó. Câu trả lời là các kết quả dựa trên luật loại trừ giữa hoặc tiên đề của sự lựa chọn (mặc dù lựa chọn có thể đếm được là ổn) không phải là trực giác, và do đó không thể được xác nhận trong các topos hiệu quả. Tuy nhiên, chúng ta nên lưu ý rằng (trái với ý kiến ​​phổ biến) hầu hết các phân tích có thể được thực hiện bằng trực giác.

Các topos hiệu quả chỉ là một trong nhiều topo khả thi . Khi chúng tôi giải thích phân tích trực giác trong các tiêu chí khả thi khác, chúng tôi nhận được các mô hình thay thế về khả năng tính toán số thực, bao gồm cả tính toán với các phép lạ mà bạn ám chỉ. "Các topos có khả năng thực hiện chức năng Kleene tương đối" (bất kể đó là gì) mang lại khả năng tính toán Loại II trên các thực tế trong đó các bản đồ tính toán hoạt động trên tất cả các thực, không chỉ các tính toán có thể tính toán được.

Tôi đã cố gắng giải thích điều này một lần trong các ghi chú "Tính thực tế như sự kết nối giữa Toán học tính toán và Xây dựng" , và trước đó trong Tiến sĩ của tôi . luận án .