Là biến thể này của TQBF vẫn hoàn thành PSPACE?

Quyết định nếu một công thức boolean định lượng như

$\forall x_1 \exists x_2 \forall x_3\cdots \exists x_n \varphi(x_1, x_2,\ldots , x_n),$

luôn luôn đánh giá đúng là một vấn đề hoàn chỉnh PSPACE cổ điển. Đây có thể được xem là một trò chơi giữa hai người chơi, với các động tác xen kẽ. Người chơi thứ nhất quyết định giá trị thật của các biến số lẻ và người chơi thứ hai quyết định giá trị thật của các biến số chẵn. Người chơi thứ nhất cố gắng làm cho $\varphi$ sai và người chơi thứ hai cố gắng làm cho nó đúng. Quyết định ai có chiến lược chiến thắng là PSPACE-Complete.

Tôi đang xem xét một vấn đề tương tự với hai người chơi, một người cố gắng tạo ra một công thức boolean $\varphi$ đúng và người còn lại cố gắng làm cho nó sai. Sự khác biệt là khi di chuyển, người chơi có thể chọn một biến và giá trị thật cho nó (ví dụ, ngay từ lần di chuyển đầu tiên, người chơi có thể quyết định đặt $x_8$ thành đúng và trong lần di chuyển tiếp theo, người chơi hai có thể quyết định đặt $x_3$ thành sai). Điều này có nghĩa là người chơi có thể quyết định biến nào (trong số các biến chưa được gán giá trị thật) mà họ muốn gán giá trị thật, thay vì phải chơi trò chơi theo thứ tự $x_1 , \ldots , x_n$ .

Vấn đề được đưa ra một công thức boolean $\varphi$ trên $n$ biến để quyết định xem người chơi một (cố gắng làm cho nó sai) hay người chơi hai (cố gắng làm cho nó đúng) có chiến lược chiến thắng. Vấn đề này rõ ràng vẫn còn trong PSPACE, vì cây trò chơi có độ sâu tuyến tính.

Nó vẫn hoàn thành PSPACE?

Đây là một trò chơi Hài lòng ràng buộc không có thứ tự và nó đã hoàn thành PSPACE và nó đã được chứng minh là hoàn thành PSPACE chỉ gần đây ; một bằng chứng có thể được tìm thấy trong:

Lauri Ahlroth và Pekka Orponen, Trò chơi thỏa mãn ràng buộc không có thứ tự . Bài giảng ghi chú trong Khoa học máy tính Tập 7464, 2012, tr 64-75.

Trừu tượng:Chúng tôi xem xét các trò chơi thỏa mãn ràng buộc hai người chơi trên các hệ thống ràng buộc Boolean, trong đó người chơi lần lượt chọn một trong các biến có sẵn và đặt nó thành đúng hoặc sai, với mục tiêu tối đa hóa (cho Người chơi I) hoặc tối thiểu hóa (cho Người chơi II) số lượng các ràng buộc hài lòng. Không giống như trong các trò chơi gán biến loại QBF tiêu chuẩn, chúng tôi không áp đặt thứ tự nào cho các biến được chơi. Điều này làm cho thiết lập trò chơi tự nhiên hơn, nhưng cũng khó kiểm soát hơn. Chúng tôi cung cấp các chiến lược gần đúng hệ số không đổi, thời gian đa thức cho Người chơi I khi các ràng buộc là các hàm chẵn lẻ hoặc các hàm ngưỡng có ngưỡng nhỏ so với mức độ hạn chế của các ràng buộc. Ngoài ra, chúng tôi chứng minh rằng vấn đề xác định xem Người chơi tôi có thể đáp ứng tất cả các ràng buộc đã hoàn tất PSPACE ngay cả trong cài đặt không có thứ tự này hay không,

Từ nội dung:

$C = \{c_1,...,c_m\}$$X = \{x_1,...,x_n\}$$C$

$C$

... Định lý 4 : Vấn đề quyết định mức độ thỏa mãn GBF của công thức Boolean là PSPACE-Complete.

EDIT : Daniel Grier đã phát hiện ra rằng kết quả cũng được Schaefer giải quyết trong thập niên 70, xem câu trả lời của anh ta trên trang này để tham khảo (và nêu lên :-). Schaefer đã chứng minh rằng trò chơi vẫn hoàn thành PSPACE ngay cả khi bị giới hạn ở các công thức CNF dương (nghĩa là các công thức mệnh đề ở dạng bình thường kết hợp trong đó không có biến bị phủ định xảy ra) với tối đa 11 biến trong mỗi kết hợp.

Cũng có thể đáng lưu ý rằng vấn đề này cũng đã được Thomas Schaefer giải quyết vào những năm 70 trong Sự phức tạp của các vấn đề quyết định dựa trên các trò chơi thông tin hoàn hảo hai người hữu hạn . Trên thực tế, ông chứng minh một kết quả mạnh mẽ hơn một chút khi ngôn ngữ vẫn hoàn thành PSPACE ngay cả khi bị hạn chế đối với các công thức CNF tích cực.

Chúng tôi đã chứng minh rằng trò chơi này là PSPACE hoàn chỉnh cho 5-CNF nhưng có thuật toán Thời gian tuyến tính cho 2-CNF. Kết quả tốt nhất trước đó là 6-CNF của Ahlroth và Orponen.

Bạn có thể tìm thấy tài liệu hội nghị tại ISAAC 2018 .

Cập nhật: ngày 16 tháng 11 năm 2019

Chúng tôi đã chứng minh rằng trò chơi có thể điều khiển được cho 3-CNF theo một số hạn chế đối với 3-CNF. Chúng tôi cũng phỏng đoán một cách triệt để rằng trò chơi này cũng có thể dễ điều khiển theo các hạn chế đối với 3-CNF. Bạn có thể tìm thấy phiên bản ban đầu tại ECCC .