Phân tách đồ thị để kết hợp các chức năng địa phương của các nhãn của đỉnh

Giả sử chúng ta muốn tìm hoặc max x ∏ i j ∈ E f(xi,xj

Trong đó max hoặc sum được lấy trên tất cả các nhãn của , sản phẩm được lấy trên tất cả các cạnh cho đồ thị và f là một hàm tùy ý. Đại lượng này rất dễ tìm thấy đối với các đồ thị chiều rộng cây giới hạn và nói chung NP-hard cho các đồ thị phẳng. Số lượng màu thích hợp, tập độc lập tối đa và số đồ thị con Euler là những trường hợp đặc biệt của vấn đề ở trên. Tôi quan tâm đến các sơ đồ xấp xỉ thời gian đa thức cho các vấn đề thuộc loại này, đặc biệt là đối với các đồ thị phẳng. Những gì phân tách đồ thị sẽ hữu ích?E G = { V , E } $V$$E$$G=\{V,E\}$$f$

Chỉnh sửa 11/1 : Ví dụ, tôi tự hỏi về các phân tách có thể tương tự như mở rộng cụm của vật lý thống kê (nghĩa là mở rộng Mayer). Khi $f$ đại diện cho các tương tác yếu, các mở rộng như vậy sẽ hội tụ, điều đó có nghĩa là bạn có thể đạt được độ chính xác nhất định với $k$ điều khoản của việc mở rộng bất kể kích thước của biểu đồ. Điều này có nghĩa là sự tồn tại của PTAS cho số lượng?

Cập nhật ngày 02/11/2011

Mở rộng nhiệt độ cao viết lại hàm phân vùng $Z$ dưới dạng tổng của các điều khoản trong đó các điều khoản bậc cao hơn phụ thuộc vào tương tác bậc cao hơn. Khi "tương quan phân rã", các thuật ngữ bậc cao phân rã đủ nhanh để gần như toàn bộ khối lượng của $Z$ được chứa trong số lượng hữu hạn của các số hạng bậc thấp.

Ví dụ cho mô hình Ising xem xét biểu thức sau của hàm phân vùng của nó

Ở đây $c$ một hằng số đơn giản, $C$ là một tập hợp các sơ đồ con Euler của đồ thị của chúng ta, $|A|$là số cạnh của đồ thị con $A$ .

Chúng tôi đã viết lại hàm phân vùng dưới dạng tổng trên các sơ đồ con trong đó mỗi thuật ngữ trong tổng bị phạt theo cấp số nhân theo kích thước của sơ đồ con. Bây giờ các thuật ngữ nhóm có cùng số mũ với nhau và xấp xỉ $Z$ bằng cách lấy các số hạng k đầu tiên $k$. Khi số lượng đồ thị con Euler có kích thước $p$ không tăng quá nhanh, lỗi xấp xỉ của chúng ta sẽ giảm theo cấp số nhân với $k$ .

Tính gần đúng nói chung là khó, nhưng dễ dàng cho các trường hợp "phân rã tương quan". Chẳng hạn, trong trường hợp mô hình Ising, có sự phân rã tương quan khi tăng chậm hơn trong đó là số lượng đồ thị con Euler có kích thước . Tôi tin trong trường hợp như vậy, việc cắt giảm sự giãn nở nhiệt độ cao mang lại PTAS cho$f(k)$$(\tanh J)^k$$f(k)$$k$$Z$

Một ví dụ khác là đếm các tập độc lập có trọng số - có thể điều chỉnh được cho bất kỳ biểu đồ nào nếu trọng số đủ thấp vì bạn có thể làm cho vấn đề thể hiện sự phân rã tương quan. Số lượng sau đó được tính gần đúng bằng cách đếm các bộ độc lập trong các vùng kích thước giới hạn. Tôi tin rằng kết quả STOC'06 của Dror Weitz ngụ ý rằng việc đếm tập độc lập không trọng số có thể áp dụng cho bất kỳ biểu đồ nào có mức độ tối đa 4.

Tôi đã tìm thấy hai họ phân tách "cục bộ" - Đồ thị cụm Bethe và đồ thị vùng Kikuchi. Phân tách Bethe về cơ bản cho bạn biết nhân số đếm theo vùng và chia cho số lượng trong vùng chồng lấp. Phương pháp biểu đồ vùng Kikuchi cải thiện điều này bằng cách tính đến việc chồng lấp vùng có thể tự chồng lấp, sử dụng loại hiệu chỉnh "loại trừ bao gồm".

Cách tiếp cận khác là phân tích vấn đề thành các phần có thể kéo được trên toàn cầu, như trong "Suy luận biến đổi về không gian kết hợp". Tuy nhiên, phân tách cục bộ cho phép bạn kiểm soát chất lượng gần đúng bằng cách chọn kích thước vùng

Những gì tôi muốn nói là quá dài cho (nhưng thực sự nên là) một bình luận.

Nếu tôi đang đọc chính xác câu hỏi, bạn muốn có một FPRAS (sơ đồ xấp xỉ ngẫu nhiên hoàn toàn đa thức) cho một trong các đại lượng trên, mỗi trong số đó bao gồm các vấn đề hoàn thành # P khác nhau như các trường hợp đặc biệt. Cụ thể, bạn muốn có một FPRAS chung trong trường hợp đồ thị phẳng, bằng cách sử dụng mở rộng cụm.

Tôi nghi ngờ rằng điều này có thể xảy ra do thực tế là tính đầy đủ NP của vấn đề tồn tại (ví dụ như tô màu phù hợp) ngụ ý rằng vấn đề đếm tương ứng (ví dụ: số lượng màu phù hợp) hoàn thành trong #P liên quan đến tính khử AP (xấp xỉ- bảo quản). Xem Dyer, Goldberg, Greenhill và Jerrum, Al Thuậtmica (2004) 38: 471-500.

Nhưng có lẽ tôi đã đọc sai câu hỏi.

(Trên thực tế, bạn có thể giải thích cho người không biết ý nghĩa của việc mở rộng nhiệt độ cao không?)