Phân loại cổng đảo ngược

Mạng của Post , được mô tả bởi Emil Post vào năm 1941, về cơ bản là một sơ đồ bao gồm đầy đủ các bộ hàm Boolean được đóng theo thành phần: ví dụ, các hàm đơn điệu, các hàm tuyến tính trên GF (2) và tất cả các hàm. (Bài đăng không cho rằng các hằng số 0 và 1 có sẵn miễn phí, điều này làm cho mạng tinh thể của anh ta phức tạp hơn nhiều so với cách khác.)

Câu hỏi của tôi là liệu có bất cứ điều gì tương tự đã từng được công bố cho các cổng đảo ngược cổ điển , như cổng Toffoli và Fredkin. Tức là, các lớp biến đổi thuận nghịch nào trên {0,1} ⁿ có thể được tạo bởi một số bộ sưu tập cổng đảo ngược? Dưới đây là các quy tắc: bạn đang cho phép một số lượng không giới hạn của Ancilla bit, một số cài đặt sẵn để 0 và những người khác đặt trước 1, miễn là tất cả các bit Ancilla đang quay trở lại các thiết lập ban đầu của họ một lần chuyển đổi của bạn của {0,1} ⁿ là đã kết thúc. Ngoài ra, SWAP gồm 2 bit (nghĩa là dán lại các chỉ số của chúng) luôn có sẵn miễn phí. Theo các quy tắc này, học sinh của tôi Luke Schaeffer và tôi đã có thể xác định mười bộ biến đổi sau đây:

1. Bộ trống
2. Tập hợp được tạo bởi cổng KHÔNG
3. Tập hợp được tạo bởi NOTNOT (nghĩa là các cổng KHÔNG được áp dụng cho bất kỳ 2 bit nào)
4. Tập hợp được tạo bởi CNOT (nghĩa là cổng Kiểm soát-KHÔNG)
5. Tập hợp được tạo bởi CNOTNOT (nghĩa là lật các bit thứ 2 và thứ 3 nếu bit thứ 1 là 1)
6. Bộ được tạo bởi CNOTNOT và KHÔNG
7. Tập hợp được tạo bởi cổng Fredkin (tức là có kiểm soát-SWAP)
8. Bộ được tạo bởi Fredkin và CNOTNOT
9. Bộ được tạo bởi Fredkin, CNOTNOT và KHÔNG
10. Tập hợp tất cả các biến đổi

Chúng tôi muốn xác định bất kỳ gia đình còn lại nào, và sau đó chứng minh rằng việc phân loại đã hoàn thành --- nhưng trước khi chúng tôi dành nhiều thời gian cho nó, chúng tôi muốn biết liệu có ai đã làm điều đó trước đây chưa.

$\def\N{\mathbb N}\DeclareMathOperator\sym{Sym}\def\cC{\mathcal C}\def\cD{\mathcal D}\def\cP{\mathcal P}\def\cI{\mathcal W}\def\cMI{\mathcal{MW}}\DeclareMathOperator\pol{Pol}\DeclareMathOperator\inv{Inv}\DeclareMathOperator\minv{MInv}\let\pres\parallel$ Đây là phần trình bày của một nửa cho các phép biến đổi có thể đảo ngược, tương tự như tính đối ngẫu của clone clone tiêu chuẩn (chẳng hạn như ở đây ). Nó không trả lời câu hỏi, nhưng nó cho thấy rằng tất cả các lớp đóng của các hàm như vậy được xác định bằng cách bảo toàn các thuộc tính của một dạng cụ thể.

Ngược lại với trường hợp tiêu chuẩn, biến chứng chính là các hoán vị có thể được tính (chúng bảo toàn tính chính xác), do đó bất biến của chúng cần liên quan đến một chút số học để giải thích cho điều này.

Hãy để tôi bắt đầu với một số thuật ngữ dự kiến. Sửa chữa một hữu hạn thiết lập cơ sở . (Trong trường hợp cổ điển Scott hỏi về, . Các phần của cuộc thảo luận cũng hoạt động với vô hạn , nhưng không phải là đặc tính chính.)A = { 0 , 1 } $A$$A=\{0,1\}$$A$

Một tập hợp hoán vị (hoặc: biến đổi thuận nghịch) là tập hợp con , trong đó biểu thị nhóm hoán vị của . Bản sao hoán vị là một tập hợp hoán vị sao choSym ( X ) X $\cC\subseteq\cP:=\bigcup_{n\in\N}\sym(A^n)$$\sym(X)$$X$$\cC$

1. Mỗi được đóng trong thành phần.$\cC\cap\sym(A^n)$

2. Đối với mọi , hoán vị được xác định bởi nằm trong .$\pi\in\sym(\{1,\dots,n\})$$\tilde\pi\in\sym(A^n)$$\tilde\pi(x_1,\dots,x_n)=(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$$\cC$

3. Nếu và , hoán vị xác định bởi là trong .$f\in\cC\cap\sym(A^n)$$g\in\cC\cap\sym(A^m)$$f\times g\in\sym(A^{n+m})$$(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$$\mathcal C$

Vì là hữu hạn, 1 có nghĩa là là một nhóm con của . OP chỉ yêu cầu 2 cho chuyển vị , nhưng phiên bản ở đây rõ ràng là tương đương. Điều kiện 3 tương đương với điều tôi gọi là giới thiệu các biến giả trong các ý kiến ​​trên.C ∩ Sym ( A n ) Sym ( A n ) $A$$\cC\cap\sym(A^n)$$\sym(A^n)$$\pi$

Một bản sao chính là một bản sao hoán vị với sự cho phép của ancillas:

4. Đặt , và sao cho với mọi . Sau đó ngụ ý .g ∈ Sym ( A n ) a ∈ A m f ( x , a ) = ( g ( x ) , a ) x ∈ A n f ∈ C g ∈ $f\in\sym(A^{n+m})$$g\in\sym(A^n)$$a\in A^m$$f(x,a)=(g(x),a)$$x\in A^n$$f\in\cC$$g\in\cC$

Chúng tôi hướng đến việc mô tả các bản sao hoán vị và nhân bản chính bằng các bất biến nhất định. Trước tiên, hãy để tôi thúc đẩy cái sau bằng một vài ví dụ về :$A=\{0,1\}$

• Bản sao chính của hoán vị bảo tồn trọng lượng Hamming (được tạo ra bởi cổng Fredkin). Nếu biểu thị việc bao gồm trong , các hoán vị này được đặc trưng bởi thuộc tính trong đó và tôi viết .{ 0 , 1 } N y = f ( x $w$$\{0,1\}$$\N$f∈Sym(Mộtn)x=(x1,...,xn

  $$y=f(x)\implies\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i),$$ $f\in\sym(A^n)$$x=(x_1,\dots,x_n)$

• Bản sao chính của hoán vị bảo quản Hamming trọng lượng modulo cố định , được đề cập trong các ý kiến. Điều này được đặc trưng bởi cùng một công thức như trên, nếu chúng ta giải thích là một hàm từ đến nhóm tuần hoàn và tính tổng ở đó.w { 0 , 1 } C ( m $m$$w$$\{0,1\}$$C(m)$

• Bản sao chính của hoán vị affine , , (được tạo bởi CNOT). Người ta dễ dàng kiểm tra (hoặc biết từ trường hợp Đăng) rằng một hàm đầu ra duy nhất là affine iff nó bảo toàn mối quan hệ . Do đó, nếu chúng ta xác định bởi một nằm trong bản sao iff vì vậy chúng tôi đang xử lý các khoản tiền trong đơnM ∈ G L ( n , F 2 ) b ∈ F n 2 F n 2 → F 2 x 1 ⊕ x 2 ⊕ x 3 ⊕ x 4 = 0 w : { 0 , 1 } → { 0 , 1 } w ( x 1$f(x)=Mx\oplus b$$M\in\mathrm{GL}(n,\mathbb F_2)$$b\in\mathbb F_2^n$$\mathbb F_2^n\to\mathbb F_2$$x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4=0$$w\colon\{0,1\}\to\{0,1\}$f ∈ Sym ( A n ) y 1 = f ( x 1 ) ∧ ⋯ ∧ y 4 = f ( x 4

  $$w(x^1,x^2,x^3,x^4)=x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4,$$ $f\in\sym(A^n)$({0,1},0,max $$y^1=f(x^1)\land\dots\land y^4=f(x^4)\implies\max_{i=1}^nw(x^1_i,\dots,x^4_i)=\max_{i=1}^nw(y^1_i,\dots,y^4_i),$$ $(\{0,1\},0,\max)$ .

Nói chung, hàm trọng số là ánh xạ , trong đó và là một đơn thức giao hoán. Một chức năng cân tổng thể là một trong đó bản đồ tất cả các đường chéo -tuples , , đến các yếu tố khả nghịch của . Gọi là lớp của tất cả các hàm trọng số và các hàm trọng số chính.k ∈ N M k ( một , ... , một ) một ∈ A M W M $w\colon A^k\to M$$k\in\N$$M$$k$$(a,\dots,a)$$a\in A$$M$$\cI$$\cMI$

Nếu và là hàm trọng số, chúng tôi nói rằng là một bất biến của , hoặc (mượn một cách vô thức thuật ngữ) rằng là một đa hình của và viết , nếu điều kiện sau giữ cho tất cả :w : A k → M w f f w f ∥ w ( x j i ) j = 1 .. k i = 1 .. n , ( y j i ) j = 1 .. k i = 1 .. n ∈ A n × $f\in\sym(A^n)$$w\colon A^k\to M$$w$$f$$f$$w$$f\pres w$$(x_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k},(y_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k}\in A^{n\times k}$

Nếu , thì n Σ i = 1 w ( x i ) = n Σ i = 1 w ( y i ) $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$

$$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).$$

Ở đây, , và tương tự cho . Nói cách khác, if (hay đúng hơn là phần mở rộng song song của nó thành ) bảo toàn tổng số -weights của các đối số của nó.x i = ( x 1 i , ... , x k i ) y f ∥ w f ( A k ) n$x^j=(x^j_1,\dots,x^j_n)$$x_i=(x_i^1,\dots,x_i^k)$$y$$f\pres w$$f$$(A^k)^n$$w$

Mối quan hệ giữa và (hoặc ) tạo ra kết nối Galois giữa các bộ hoán vị và các lớp của hàm trọng số , theo cách thông thường: và do đó, một sự đẳng cấu kép giữa các mạng hoàn chỉnh của các tập hoán vị khép kín và các lớp đóng của các hàm trọng số (chính) tương ứng. Để thấy rằng chúng tôi đang đi đúng hướng, chúng tôi quan sát rằng các bộ hoán vị khép kín thực sự là bản sao:P W M W C ⊆ P D ⊆ W Pol ( D$\pres$$\cP$$\cI$$\cMI$$\cC\subseteq\cP$$\cD\subseteq\cI$

$$\begin{align*} \pol(\cD)&=\{f\in\cP:\forall w\in\cD\,(f\pres w)\},\\ \inv^*(\cC)&=\{w\in\cI:\forall f\in\cC\,(f\pres w)\},\\ \minv^*(\cC)&=\cMI\cap\inv^*(\cC), \end{align*}$$

Bổ đề: Nếu , thì là một bản sao hoán vị. Nếu , thì là bản sao chính. Pol ( D ) D ⊆ M W Pol ( D$\cD\subseteq\cI$$\pol(\cD)$$\cD\subseteq\cMI$$\pol(\cD)$

Bằng chứng: Khẳng định đầu tiên ít nhiều rõ ràng. Đối với lần thứ hai, hãy để , giống như trong điều kiện 4 sao cho và let như trong định nghĩa của . Đặt , và . Sau đó ngụ ý Tuy nhiên, không thể nghịch đảo trong vì là hàm trọng số chính, do đó f , g , một f ∥ w ( x j i ) , ( y j i ) g ∥ w ˉ x j = ( x j , một ) ˉ y j = ( y j , một ) = f ( ˉ x j ) u i = w ( a i , $w\in\cD$$f,g,a$$f\pres w$$(x_i^j),(y_i^j)$$g\pres w$$\bar x^j=(x^j,a)$$\bar y^j=(y^j,a)=f(\bar x^j)$f ∥ w n Σ i = 1 w ( x i ) + m Σ i = 1 u i = n + m Σ i = 1 w ( ˉ x i ) = n + m Σ i = 1 w ( ˉ y i ) = n ∑ i = 1 w $u_i=w(a_i,\dots,a_i)$$f\pres w$u i M w n ∑ i = 1 w ( x i ) = n ∑ i = 1 w ( y i )

$$\sum_{i=1}^nw(x_i)+\sum_{i=1}^mu_i=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar x_i)=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar y_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i)+\sum_{i=1}^mu_i.$$ $u_i$$M$$w$ $$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).\tag*{QED}$$

Trước khi chúng ta tiến xa hơn, chúng ta cần khắc phục một vấn đề: đơn sắc có thể rất lớn , do đó bất biến của hình thức này có thể bị nghi ngờ là vô nghĩa trừu tượng vô dụng.

Đầu tiên, với hàm trọng số , chúng ta có thể giả sử rằng được tạo bởi (và bằng cách đảo ngược phụ gia hình ảnh của các phần tử đường chéo trong trường hợp chính), như các phần tử khác của không vào hình. Đặc biệt, được tạo ra một cách hữu ích . Thứ hai, bằng kết quả chung từ đại số phổ quát, chúng ta có thể viết là sản phẩm phụ trong đó mỗi đều không thể thay đổi được và là thương số của thông qua phép chiếu sản phẩm thứ$w\colon A^k\to M$$M$$w(A^k)$$M$$M$$M$

$$M\subseteq\prod_{i\in I}M_i,$$ $M_i$$M_i$$M$$i$$\pi_i$; đặc biệt, nó vẫn là một monoid giao hoán được tạo ra một cách hữu hạn. Theo kết quả của Mal'cev, fg các đơn sắc giao hoán không thể thay đổi (hoặc semigroups) trên thực tế là hữu hạn . Ánh xạ lại là một hàm trọng số, chủ nếu là , và thật dễ dàng để thấy rằng Do đó, chúng ta có thể không mất tính tổng quát hạn chế sự chú ý đến các hàm trọng số , trong đó là hữu hạn và không thể giảm được. Đặt là lớp của các hàm trọng số như vậy và đặt $w_i=\pi_i\circ w\colon A^k\to M_i$$w$ $$\pol(w)=\bigcap_{i\in I}\pol(w_i).$$ $w\colon A^k\to M$$M$$\mathcal{FW}$ $$\begin{align*} \inv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\inv^*(\cC),\\ \minv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\minv^*(\cC). \end{align*}$$ Ví dụ về các đơn chất giao hoán không thể thay đổi gián tiếp là các nhóm tuần hoàn và các đơn chất bổ sung bị cắt ngắn . Trường hợp chung thì phức tạp hơn, tuy nhiên người ta có thể nói rất nhiều về cấu trúc của chúng: người ta có thể viết mỗi thứ theo một cách nhất định như một sự kết hợp rời rạc của một , và một nhóm nilsemig hữu hạn với một số thuộc tính. Xem Grillet để biết chi tiết.$C(p^d)$$(\{0,\dots,d\},0,\min\{d,x+y\})$$C(p^d)$

Bây giờ chúng tôi đã sẵn sàng cho điểm chính của bài đăng này:

Định lý: Các tập hợp hoán vị khép kín trong kết nối Galois với các hàm trọng số không thể thay đổi (chủ) chính xác là chính xác các bản sao hoán vị (bản sao chính, resp.).

Đó là, nếu , thì bản sao hoán vị được tạo bởi là và bản sao chính được tạo bởi là .$\cC\subseteq\cP$$\cC$$\pol(\inv(\cC))$$\cC$$\pol(\minv(\cC))$

Bằng chứng: Theo quan điểm của cuộc thảo luận trước, điều đó đủ cho thấy rằng nếu là một bản sao hoán vị và , có một bất biến của sao cho và người ta có thể lấy làm hàm trọng số chính nếu là bản sao chính.$\cC$$f\in\sym(A^n)\smallsetminus\cC$$w\colon A^k\to M$$\cC$$f\nparallel w$$w$$\cC$

Đặt và đặt là đơn thức tự do được tạo bởi (nghĩa là các từ hữu hạn trên bảng chữ cái ). Chúng tôi xác định mối quan hệ trên theo (Các từ có độ dài không bằng nhau không bao giờ liên quan đến .) Vì mỗi là một nhóm, là một quan hệ tương đương (trong thực tế, hạn chế của nó để từ có độ dài chỉ là mối quan hệ quỹ đạo tương đương của diễn xuất theo cách rõ ràng trên$k=|A|^n$$F$$A^k$$A^k$$\sim$$F$

$$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m\iff\hbox{$\exists g\in\cC\cap\sym(A^m)\,\forall j=1,\dots,k\,g(x^j_1,\dots,x^j_m)=(y^j_1,\dots,y^j_m).$}$$ $\sim$$\cC\cap\sym(A^m)$$\sim$$m$$\cC\cap\sym(A^m)$$A^{mk}$ ). Hơn nữa, là một đồng đẳng đơn: nếu và chứng kiến ​​rằng và , tương ứng, sau đó chứng kiến .$\sim$$g\in\cC\cap\sym(A^m)$$g'\in\sym(A^{m'})$$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m$$x'_1\cdots x'_{m'}\sim y'_1\cdots y'_{m'}$$g\times g'\in\cC\cap\sym(A^{m+m'})$$x_1\cdots x_mx'_1\cdots x'_{m'}\sim y_1\cdots y_my'_1\cdots y'_{m'}$

Do đó, chúng ta có thể tạo thành đơn vị thương số . Hoán vị hoán đổi chứng kiến ​​rằng cho mỗi ; đó là, các bộ tạo của đi lại, do đó là giao hoán. Xác định hàm trọng số là sự bao gồm tự nhiên của trong tạo với bản đồ thương.$M=F/{\sim}$$xy\sim yx$$x,y\in A^k$$M$$M$$w\colon A^k\to M$$A^k$$F$

Dễ dàng thấy rằng : thực sự, nếu và , sau đó theo định nghĩa của (sử dụng ký hiệu như trong định nghĩa của ). Mặt khác, giả sử . Đặt là một phép liệt kê của , và đặt cho một lần nữa như trong định nghĩa của . Sau đó $\cC\subseteq\pol(w)$$g\in\cC\cap\sym(A^m)$$y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$

$$\sum_{i=1}^mw(x_i)=x_1\cdots x_m/{\sim}=y_1\cdots y_m/{\sim}=\sum_{i=1}^mw(y_i)$$ $\sim$$\pres$$f\pres w$$\{a^j:j=1,\dots,k\}$$A^n$$b^j=f(a^j)$$a_i,b_i\in A^k$$i=1,\dots,n$$\pres$ $$a_1\cdots a_n/{\sim}=\sum_{i=1}^nw(a_i)=\sum_{i=1}^nw(b_i)=b_1\cdots b_n/{\sim},$$ do đó theo định nghĩa của , tồn tại sao cho cho mỗi . Tuy nhiên, vì xả , điều này có nghĩa là , tức là , một mâu thuẫn. Điều này hoàn thành bằng chứng cho bản sao hoán vị.$\sim$$g\in\cC\cap\sym(A^n)$$g(a^j)=b^j=f(a^j)$$j$$a^j$$A^n$$g=f$$f\in\cC$

Thậm chí nếu là một bản sao chủ, cần không phải là một chức năng cân tổng thể, trên thực tế, các yếu tố đường chéo thậm chí không nhất thiết cancellative trong , do đó chúng ta cần phải sửa chữa nó. Với mỗi , hãy để và xác định mối quan hệ tương đương mới trên theo Sử dụng thực tế là các phần tử của commute modulo , thật dễ dàng để chỉ ra rằng lại là một sự đồng dạng, do đó chúng ta có thể tạo thành monoid$\cC$$w$$M$$c\in A$$c^*=(c,\dots,c)\in A^k$$\approx$$F$

$$x_1\cdots x_m\approx y_1\cdots y_m\iff\exists c_1,\dots,c_r\in A\,x_1\cdots x_mc_1^*\cdots c_r^*\sim y_1\cdots y_mc_1^*\cdots c_r^*.$$ $A^k$$\sim$$\approx$$M'=F/{\approx}$ và hàm trọng số . Vì kéo dài , là giao hoán và thương số của ; đặc biệt, . Mặt khác, nếu , thì cùng một đối số như trên cùng với định nghĩa của sẽ cho một và sao cho cho tất cả , do đó là là một bản sao chính, một mâu thuẫn.$w'\colon A^k\to M'$$\approx$$\sim$$M'$$M$$\cC\subseteq\pol(w')$$f\pres w'$$\approx$$g\in\cC\cap\sym(A^{n+r})$$c_1,\dots,c_r\in A$ $$g(x,c_1,\dots,c_r)=(f(x),c_1,\dots,c_r)$$ $x\in A^n$$f\in\cC$$\cC$

Định nghĩa của Đảm bảo rằng cho tất cả , và . Theo sau đó, các phần tử bị hủy trong . Một thực tế dễ dàng được biết đến là bất kỳ monoid giao hoán nào cũng có thể được nhúng vào một cái khác trong đó tất cả các yếu tố hủy bỏ đều không thể đảo ngược. Thành phần của việc nhúng như vậy với sau đó là hàm trọng số chính và , do đó . QED$\approx$x , y ∈ F c ∈ A c * / ≈ = w

$$xc^*\approx yc^*\implies x\approx y$$ $x,y\in F$$c\in A$$c^*/{\approx}=w'(c^*)$$M'$$w'$$w''$$\pol(w')=\pol(w'')$$w''\in\minv^*(\cC)\setminus\minv^*(f)$

---

EDIT: Một khái quát về tính đối ngẫu của clone trên coclone ở trên hiện được viết thành

[1] E. Jeřábek, kết nối Galois cho các hoạt động đa đầu ra , in sẵn, 2016, arXiv: 1612.04353 [math.LO] .