Đồ thị đẳng cấu với quan hệ tương đương trên tập đỉnh

Một đồ thị màu có thể được mô tả là tuple $(G,c)$ trong đó $G$ là đồ thị và $c : V(G) \rightarrow \mathbb{N}$ là màu. Hai đồ thị màu $(G,c)$ và $(H,d)$ được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một đẳng cấu $\pi : V(G) \rightarrow V(H)$ sao cho màu được tuân theo, tức là $c(v) = d(\pi(v))$ với mọi$v \in V(G)$ .

Khái niệm này nắm bắt sự đồng hình của đồ thị màu theo một nghĩa rất nghiêm ngặt. Hãy xem xét trường hợp bạn có hai bản đồ chính trị của cùng một khu vực nhưng chúng sử dụng các bộ màu khác nhau. Nếu người ta hỏi liệu chúng có được tô màu theo cùng một kiểu hay không, người ta sẽ cho rằng điều này có nghĩa là liệu có tồn tại ánh xạ phỏng đoán giữa hai bộ màu sao cho màu của cả hai bản đồ trùng khớp với ánh xạ này hay không. Khái niệm này có thể được chính thức hóa bằng cách mô tả đồ thị màu như tuple $(G,\sim)$ nơi $\sim$ là một quan hệ tương đương trên tập đỉnh của $G$ . Sau đó chúng tôi có thể nói hai đồ thị đó $(G,\sim_1)$ và $(H,\sim_2)$ là đẳng cấu nếu có tồn tại một đẳng cấu$\pi : V(G) \rightarrow V(H)$ như vậy mà cho tất cả các cặp$v_1,v_2 \in V(G)$ nó cho rằng

Câu hỏi của tôi là liệu khái niệm này đã được nghiên cứu trước đây bằng cách tìm kiếm các hình thức kinh điển, v.v. và nếu có thì nó được biết đến với cái tên nào?

Vấn đề bạn mô tả chắc chắn đã được xem xét (tôi nhớ là đã thảo luận về nó ở trường học, và tại thời điểm đó nó đã được thảo luận từ lâu rồi), mặc dù tôi không thể chỉ ra bất kỳ tài liệu tham khảo cụ thể nào trong tài liệu. Có thể bởi vì nó tương đương tuyến tính với sự đẳng cấu đồ thị không màu, như sau (điều này đúng ngay cả đối với các dạng chính tắc). Gọi vấn đề bạn mô tả EQ-GI.

GI chỉ là trường hợp đặc biệt của EQ-GI trong đó mỗi biểu đồ chỉ có một lớp tương đương bao gồm tất cả các đỉnh.

Theo một hướng khác, để giảm EQ-GI để GI, hãy là một đồ thị với quan hệ tương đương với n đỉnh, m cạnh, và c tương đương lớp học. Xây dựng một đồ thị G ' có bộ đỉnh bao gồm các đỉnh của G , cùng với đỉnh mới v 1 , ... , v c , một cho mỗi lớp tương đương trong = G , cũng như n + c + 1 đỉnh mới w 0 , ... $(G, \sim_G)$$n$$m$$c$$G'$$G$$v_1, \dotsc, v_c$$=_G$$n+c+1$ . Nối w i 's trong một con đường w 0 - w 1 - w 2 - ⋯ - w n + c , kết nối mỗi v i để w 0 , và cho tất cả các đỉnh trong G , kết nối nó với sự tương đương tương ứng lớp đỉnh v i . Sau đó, G ' có ít nhất n + 2 c + n + 1 ≤ O ( n $w_0, \dotsc, w_{n+c}$$w_i$$w_0 - w_1 - w_2 - \dotsb - w_{n+c}$$v_i$$w_0$$G$$v_i$$G'$$n + 2c + n +1 \leq O(n)$đỉnh và có thể được xây dựng trong cùng một thời gian ràng buộc. (Nó cũng có ít nhất cạnh - đó là O ( m ) cho các biểu đồ kết nối - nhưng đó là một chút ít liên quan vì hầu hết các thuật toán GI có thời gian chạy mà về cơ bản chỉ phụ thuộc vào n .)$m + n + c + (n+c+1) \leq m + 4n + 1 \leq O(m+n)$$O(m)$$n$

Cập nhật : Vì có một số nhầm lẫn trong các nhận xét, tôi thêm vào đây một bản phác thảo về tính đúng đắn của lập luận trên. Với và ( G 2 , ~ 2 ) , chúng ta hãy G ' 1 và G ' 2 là đồ thị được xây dựng như trên; hãy v i , 1 biểu thị đỉnh v i từ trên cao trong G ' 1 và v i , 2 một trong G $(G_1, \sim_1)$$(G_2, \sim_2)$$G_1'$$G_2'$$v_{i,1}$$v_i$$G_1'$$v_{i,2}$ , và tương tự chowi,1vàwi,2. Nếu có một đẳng cấuG ' 1 ≅G ' 2 , nó phải gửiwi,1đểwi,2cho tất cải, vì trong mỗi đồ thịwn+clà đỉnh duy nhất là thiết bị đầu cuối của bất kỳ con đường dài ít nhấtn+c+1. Đặc biệt,w0,$G_2'$$w_{i,1}$$w_{i,2}$$G_1' \cong G_2'$$w_{i,1}$$w_{i,2}$$i$$w_{n+c}$$n+c+1$$w_{0,1}$ánh xạ tới . Kể từ khi những người hàng xóm của w 0 mà không phải là w 1 là chính xác v i , đẳng cấu phải ánh xạ tập { v 1 , 1 , ... , v c , 1 } với tập { v 1 , 2 , ... , v c , 2 } (và đặc biệt là cả hai ~ 1 và ~ 2 phải có cùng số, $w_{0,2}$$w_0$$w_1$$v_i$$\{v_{1,1},\dotsc,v_{c,1}\}$$\{v_{1,2},\dotsc,v_{c,2}\}$$\sim_1$$\sim_2$$c$, của các lớp tương đương). Lưu ý rằng đẳng cấu không cần gửi đến v i , 2 cho tất cả i , nhưng được phép hoán vị các chỉ số của v miễn là các lớp tương đương có thể được ánh xạ với nhau. Ngược lại, dựa trên mô tả về cách isomorphisms giữa G ' 1 và G ' 2 có thể nhìn, nó rất dễ dàng để thấy rằng nếu ( G 1 , ~ 1 ) ≅ ( G 2 , ~ 2$v_{i,1}$$v_{i,2}$$i$$v$$G_1'$$G_2'$$(G_1, \sim_1) \cong (G_2, \sim_2)$sau đó điều này mang lại một đẳng cấu .$G_1' \cong G_2'$

Tôi đọc bình luận cuối cùng của bạn trong câu trả lời đúng của Joshua; nếu bạn cần chuyển đổi EQ-GI thành GI màu (nghĩa là bạn đang gặp rắc rối với các màu được gán cho các lớp tương đương), bạn có thể sử dụng phép giảm sau:

Giả sử rằng các đồ thị bắt đầu là , G 2 = ( V 2 , E 2 ) và có q lớp tương đương; sau đó bạn có thể thêm vào mỗi biểu đồ một "hoán vị", tức là một biểu đồ hoàn chỉnh trên | V 1 | + 1 = | V 2 | + 1 nút ( K ' | V 1 | + 1 , K $G_1 = (V_1, E_1)$$G_2 = (V_2, E_2)$$q$$|V_1|+1=|V_2|+1$$K'_{|V_1|+1}$ ) và sử dụngq+1màuc1,. . . ,cq,cq+1.$K''_{|V_2|+1}$$q+1$$c_1,...,c_q,c_{q+1}$

Trong cả hai và K " , q nút được phân biệt và màu với c 1 , . . . , c q các nút còn lại được tô màu với c q + 1 . Các nút của G 1 có màu với màu c q + 1 và các nút trong lớp tương đương cùng được liên kết với màu sắc tương ứng trong K ' ; các nút của G 2 được tô màu bằng màu q + $K'$$K''$$q$$c_1,...,c_q$$c_{q+1}$$G_1$$c_{q+1}$$K'$$G_2$$q+1$và các nút trong lớp tương đương cùng được liên kết với màu sắc tương ứng trong .$K''$

Cũng lưu ý rằng bạn có thể bỏ các màu và lấy một thể hiện GI tương đương :-)

Việc giảm bớt coresponding với ví dụ trong bình luận của bạn