Sự phức tạp của các vấn đề liên quan đến hoán vị

Cho một nhóm $G$ hoán vị trên $[n]=\{1, \cdots, n\}$ và hai vectơ trong đó là một bảng chữ cái hữu hạn không hoàn toàn phù hợp ở đây, câu hỏi là liệu có tồn tại một số sao cho trong đó có nghĩa là áp dụng hoán vị trên theo cách dự kiến.$u,v\in \Gamma^n$$\Gamma$$\pi\in G$$\pi(u)=v$$\pi(u)$$\pi$$u$

Giả sử thêm rằng được đưa ra, làm đầu vào, bởi một bộ hữu hạn của các bộ tạo. Sự phức tạp của vấn đề là gì? Đặc biệt, nó có trong NP không?$G$$S$

Đặt trong đó S n là nhóm hoán vị trên n phần tử. Thử nghiệm cho dù g ∈ ⟨ g 1 , ... , g k ⟩ có thể được thực hiện trong NC ⊆ P bởi [1]. Hãy u , v ∈ gamma n , sau đó chỉ cần đoán g ∈ S n , kiểm tra trong thời gian đa thức cho dù g ∈ $g_1, \ldots, g_k, g \in S_n$$S_n$$n$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k \rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$u, v \in \Gamma^n$$g \in S_n$$g \in G$và liệu . Điều này mang lại một NP giới hạn trên.$g(u) = v$$\text{NP}$

Để bổ sung cho câu trả lời này:

Tư cách thành viên nhóm được chứng minh thuộc về (Furst et al. 1980), sau đó thuộc NC 3 cho các nhóm abelian (McKenzie & Cook 1987; Mulmuley 1987), thuộc NC cho các nhóm nilpotent (Luks & McKenzie 1988), các nhóm có thể giải được (Luks & McKenzie 1988), các nhóm có các yếu tố thành phần phi abelian (Luks 1986), và cuối cùng là tất cả các nhóm (Babai et al. 1987). Một cách phân loại độ phức tạp tương tự của tư cách thành viên đơn chu kỳ nợ (Beaudry 1988; Beaudry et al. 1992; Kozen 1977), người cho thấy rằng tư cách thành viên của bất kỳ giống monoid cố định nào là ở AC 0 , P , NP , hoặc $\text{P}$$\text{NC}^3$$\text{NC}$$\text{AC}^0$$\text{P}$$\text{NP}$$\text{PSPACE}$ (và hoàn thành cho lớp đó với rất ít ngoại lệ).

[1] L. Babai, EM Luks & A. Phục vụ. Các nhóm hoán vị trong NC. Proc. Hội thảo chuyên đề ACM hàng năm lần thứ về Lý thuyết điện toán, trang 409-420, 1987.$19^\text{th}$

Vấn đề của bạn được gọi là ( -) chuỗi G -isomorphism. Đó là trong một lớp học tương đối hẹp của các vấn đề xung quanh phép đẳng cấu đồ thị: đó là ít nhất khó như GI, và đang trong N P ∩ c o Một M .$\Gamma$$G$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$

Giảm từ GI: let và gọiG≤SNlà hành động cảm ứng củaSntrên các cặp.$N = \binom{n}{2}$$G \leq S_N$$S_n$

giao thức: Arthur ngẫu nhiên chọn một phần tử của G (Tôi không chắc chắn điều này có thể được thực hiện một cách chính xác thống nhất, nhưng tôi nghĩ rằng các thuật toán nổi tiếng có được đủ gần để thống nhất cho kết quả này) và áp dụng nó cho cả u và v . Với xác suất 1/2 anh ta hoán đổi u và v , sau đó đưa chúng cho Merlin và hỏi đó là cái nào.$\mathsf{coAM}$$G$$u$$v$$u$$v$

Mặc dù ý kiến ​​của tôi, tôi cũng sẽ thêm một câu trả lời.

Trong trường hợp hai vectros đã cho được biết là hoán vị của nhau (và hoán vị được biết / giả định là thuộc nhóm ). Sau đó, hoán vị biến đổi v → u có thể được tìm thấy trong thời gian tuyến tính như sau:$G$$v \to u$

1. Căn chỉnh 2 vectơ một dưới cái kia

2. Hoán vị được tìm thấy bằng cách bắt đầu từ phần tử thứ 1 của được chuyển thành phần tử thứ 1 của $v$$u$

3. Lấy vị trí của phần tử trong bước trước (của thành v ) và lặp lại bước (2), sau đó là phần tử thứ 2 của hoán vị và cứ như vậy, cho đến khi, tất cả các phần tử được duyệt qua.$u$$v$

Khi hai vectơ không được biết là tích cực hoán vị lẫn nhau (hoặc đối với các trường hợp tổng quát hơn có thể có nhiều phép biến đổi, ví dụ như trò chơi sudoku), hãy kiểm tra Bài toán giải pháp khác nói chung về NP-hard. Yêu cầu này để sử dụng một số phép biến đổi đối xứng (ví dụ hoán vị) thỏa mãn các ràng buộc của một vấn đề nhất định để tạo ra một giải pháp khác của vấn đề được đưa ra một giải pháp ban đầu.

Hơn nữa, đây là một phần của các vấn đề được gọi là Vấn đề nghịch đảo (a-la Jaynes)