Đại số định hướng ngành khoa học máy tính lý thuyết

Tôi có một cơ sở rất mạnh về đại số, cụ thể là

• đại số giao hoán,
• đại số tương đồng,
• lý thuyết trường,
• lý thuyết thể loại,

và tôi hiện đang học hình học đại số.

Tôi là một chuyên gia toán học có thiên hướng chuyển sang khoa học máy tính lý thuyết. Giữ các lĩnh vực được đề cập ở trên, lĩnh vực nào sẽ là lĩnh vực thích hợp nhất trong khoa học máy tính lý thuyết để chuyển đổi? Đó là, trong lĩnh vực nào mà lý thuyết và sự trưởng thành toán học có thể đạt được bằng cách theo đuổi các lĩnh vực trên có thể được sử dụng để lợi thế của một người?

Đã có những phát triển gần đây trong lý thuyết loại phụ thuộc liên quan đến các hệ thống loại với các loại đồng luân .

Điều này bây giờ là một lĩnh vực tương đối nhỏ, nhưng có rất nhiều công việc thú vị đang được thực hiện ngay bây giờ, và có khả năng rất nhiều trái cây treo thấp, đáng chú ý nhất trong porting kết quả từ topo đại số và đại số đồng điều và chính thức hóa các khái niệm về các loại quy nạp cao hơn .

Hình học đại số được sử dụng nhiều trong lý thuyết phức tạp đại số và đặc biệt trong lý thuyết phức tạp hình học. Lý thuyết biểu diễn cũng rất quan trọng cho cái sau, nhưng nó thậm chí còn hữu ích hơn khi kết hợp với hình học đại số và đại số tương đồng.

Kiến thức về lý thuyết trường của bạn sẽ hữu ích trong ngành mật mã, trong khi lý thuyết thể loại được sử dụng nhiều trong nghiên cứu về ngôn ngữ lập trình và hệ thống gõ, cả hai đều liên quan chặt chẽ đến nền tảng của toán học.

Lý thuyết trường và hình học đại số sẽ hữu ích trong các chủ đề liên quan đến mã sửa lỗi, cả trong cài đặt cổ điển cũng như trong nghiên cứu mã giải mã cục bộ và giải mã danh sách. Tôi tin rằng điều này quay trở lại để làm việc với các mã Reed-Solomon và Reed-Muller, sau đó được khái quát hóa thành các mã hình học đại số. Xem ví dụ, chương sách này về quan điểm lý thuyết mã hóa cổ điển về mã hình học đại số, khảo sát ngắn gọn này về mã giải mã cục bộ, và bài báo nổi tiếng này về giải mã danh sách Reed-Solomon và nói chung hơn là mã hình học đại số.

Có một số vấn đề trong lý thuyết học tập tính toán, học máy và thị giác máy tính có thể được giải quyết bằng cách sử dụng đại số giao hoán và hình học đại số. Ví dụ, sự hội tụ của thuật toán Tuyên truyền niềm tin, một thuật toán chuyển thông điệp cho suy luận Bayes, có thể được xây dựng theo cách mô tả sự đa dạng của hệ phương trình đa thức .

Bạn đã nghĩ về việc nhìn vào đại số máy tính? Axiom là một hệ thống đại số máy tính trong đó hệ thống loại được mô hình hóa theo Lý thuyết Danh mục (hoặc Đại số phổ quát, tùy thuộc vào quan điểm của bạn). Có hai dẫn xuất khác của Axiom FriCAS và OpenAxiom .

Nếu bạn quan tâm đến Lý thuyết Danh mục, thì hệ thống loại có thể là một điều cần xem xét.

Trong Axiom, mọi "mục" (ví dụ "1", "5 * x ** 2 + 1") là một thành phần của Miền. "Miền" là một đối tượng Axiom được khai báo là thành viên của một Thể loại cụ thể (ví dụ: Integer, Polynomial (Integer). Một Axiom Category là một đối tượng Axiom được tuyên bố là thành viên của biểu tượng phân biệt "Category" (ví dụ: Ring, Polynomial (R, E, V)).

Có một mạng thừa kế cho đa thừa kế giữa các Thể loại. ví dụ: Thể loại Monad kế thừa từ SetC Category, Monoid từ Monad, Group từ Monoid, v.v., v.v.

Ngoài ra còn có một đa hình bậc cao, hơi giống Generics trong Java.

Một số hành động trong Axiom có ​​thể được xem là Functor, nhưng điều đó sẽ khá nhiều để đi vào đây!

Nếu bạn chỉ muốn sử dụng Axiom mà không phải lo lắng về Lý thuyết Danh mục, với tư cách là người dùng cuối thông thường, thì một hệ thống tính toán mang tính biểu tượng chính xác là phần mềm phù hợp để xem xét các đại số riêng lẻ.

$L \subseteq X^{\ast}$

Những người sau đây đã sử dụng quan điểm đại số này trong trường hợp ngôn ngữ thông thường: Samuel Eilenberg về Lý thuyết Automata, Jean Berstel , Jean-Eric pin , Marcel Schützenberg và Lý thuyết Krohn-Rhodes .

Ngoài ra có đại số không liên quan đến công việc xung quanh phỏng đoán Cerny , hầu hết là khá kết hợp. Nhưng gần đây tôi đã thấy được thực hiện nhiều hơn với đại số tuyến tính, lý thuyết vành và lý thuyết biểu diễn, tìm kiếm để làm việc Benjamin Steinberg và Jorge Almeida .

Nhân tiện, bạn có thể xuất hiện khá tốt trong các lĩnh vực này với lý thuyết Semigroup-, Monoid- và Group, nhưng lý thuyết Danh mục và Lý thuyết Homotopy không được sử dụng nhiều trong lĩnh vực này. Nhưng có lẽ thú vị để lưu ý rằng S. Eilenberg là một trong những người sáng lập ra Lý thuyết Thể loại, mặc dù điều này là trước khi ông tham gia vào Lý thuyết Automata.

Luận án của Brent Yorge , trong khi vẫn chỉ là một bản nháp, thực hiện một công việc tuyệt vời để giải thích lý do tại sao lợi ích của bạn có liên quan đến TCS.

Dưới đây là bài nói chuyện của Jidel vào tháng Tư vừa qua về các tài liệu liên quan.

Tôi không biết nếu bạn đã xem xét ngành công nghiệp, nhưng công ty Ayasdi đang làm công việc tuyệt vời khi áp dụng rất nhiều phương pháp đồng luân và các phương pháp tô pô ứng dụng khác trong khoa học dữ liệu. Họ pha trộn rất nhiều lý thuyết với các ứng dụng. Về cơ bản, để xem những gì họ đang làm, hãy xem trang web Stanford Comptop. (Phần lớn mọi người đến từ đó).

Ngoài những gì mọi người khác đã nói (tôi đoán ứng dụng lớn nhất của các nhánh này thực sự là trong các hệ thống loại):

• Lý thuyết mạng và các lệnh một phần nói chung được áp dụng khá nhiều để phân tích hành vi của các hệ thống phân tán và để phân tích dataflow trong trình biên dịch.
• Tôi cũng thấy các kết nối Galois được áp dụng cho học máy (cụ thể là phân loại văn bản: kết nối Galois giữa các tập hợp con của đỉnh trái và phải của biểu đồ hai tài liệu / từ được cho phép để tăng tốc đáng kể thuật toán).

Mối liên hệ giữa Đại số và Khoa học Máy tính Lý thuyết rất mạnh. Nic Doye đã đề cập đến Đại số máy tính, nhưng ông không bao gồm rõ ràng lý thuyết về việc viết lại các hệ thống, một phần thiết yếu của Đại số máy tính, với các ứng dụng trong giải phương trình tự động và lý luận tự động. Các hệ thống viết lại chuỗi là một khu vực phụ quan trọng, với các ứng dụng trong lý thuyết nhóm tính toán. Kiểm tra cuốn sách "Hệ thống viết lại chuỗi", ví dụ của Ronald Book và Friedrich Otto.

Ngoài ra còn có mối liên hệ giữa lý thuyết đồ thị và đại số, ví dụ như lý thuyết phổ được phát triển tốt về đồ thị và mạng phức tạp, và cả lý thuyết về đối xứng đồ thị (graley graps, đồ thị chuyển tiếp đỉnh và các loại đồ thị đối xứng khác , được sử dụng nhiều làm mô hình cho các mạng kết nối trong các máy tính song song). Kiểm tra cuốn sách "Lý thuyết đồ thị đại số" của Chris Godsil và Gordon Royle, để biết tổng quan về các chủ đề khác nhau.

Kiểm tra tình hình trong tầm nhìn máy tính. Cụ thể, có nhiều chủ đề thuộc loại thuật toán, trong đó ba lĩnh vực đầu tiên bạn liệt kê rất hữu ích.