Sự phức tạp của vấn đề giao lộ coset

Cho nhóm đối xứng và hai nhóm con và , có giữ không?$S_n$$G, H\leq S_n$$\pi\in S_n$$G\pi\cap H=\emptyset$

Theo như tôi biết, vấn đề này được gọi là vấn đề giao nhau. Tôi đang tự hỏi những gì phức tạp? Cụ thể, vấn đề này được biết là trong coAM?

Hơn nữa, nếu bị hạn chế là abelian, thì sự phức tạp trở thành gì?$H$

Thời gian theo cấp số mũ vừa phải và (đối với vấn đề như đã nêu: Giao lộ Coset thường được coi là có câu trả lời "có" nếu các coset giao nhau, ngược lại với cách nó được nêu trong OQ.)$\mathsf{coAM}$

Luks 1999 ( bản sao của tác giả miễn phí ) đã đưa ra thuật toán thời gian , trong khi Babai (xem luận án tiến sĩ năm 1983 của ông, cũng là Babai-Kantor-Luks FOCS 1983 , và một phiên bản tạp chí xuất hiện) đã đưa ra thuật toán thời gian , vẫn là thuật toán được biết đến nhiều nhất cho đến nay. Do đẳng cấu đồ thị giảm xuống giao điểm coset có kích thước bậc hai, nên cải thiện điều này thành sẽ cải thiện trạng thái nghệ thuật cho đẳng cấu đồ thị. 2 ~ O ( $2^{O(n)}$2 ~ O (n 1 / 4 - ε$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$$2^{\tilde{O}(n^{1/4-\epsilon})}$

Hãy xem xét phần bù, tức là nơi bạn được yêu cầu kiểm tra xem . Như tôi đã chỉ ra trong câu trả lời này , kiểm tra xem có trong [1] hay không. Vì vậy, bạn có thể đoán và kiểm tra trong thời gian đa thức xem , và . Điều này mang lại một giới hạn trên và do đó, vấn đề của bạn nằm ở .g ∈ ⟨ g 1 , ... , g k ⟩ NC ⊆ P g , h ∈ S n g ∈ G h ∈ H g π = h NP $G \pi \cap H \not= \emptyset$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k\rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$g, h \in S_n$$g \in G$$h \in H$$g \pi = h$$\text{NP}$$\text{coNP}$

Chỉnh sửa : Nó được hiển thị trong [2, Thm. 15] rằng vấn đề giao cắt coset nằm trong . Như đã lưu ý ở đây , p. 7, do đó, vấn đề giao cắt coset không phải là NP hoàn chỉnh, trừ khi hệ thống phân cấp thời gian đa thức sụp đổ. Hơn nữa, nó được ghi chú ở đây , p. 6, rằng Luks đã chỉ ra rằng vấn đề nằm ở$\text{NP} \cap \text{coAM}$$\text{P}$$H$$H$

[1]  L. Babai, EM Luks & A. Phục vụ. Các nhóm hoán vị ở NC . Proc. Hội thảo chuyên đề ACM hàng năm lần thứ 19 về Lý thuyết điện toán, trang 409-420, 1987.

[2] L. Babai, S. Moran. Trò chơi Arthur-Merlin: Một hệ thống chứng minh ngẫu nhiên và hệ thống phân cấp các lớp phức tạp . Tạp chí Khoa học Máy tính và Hệ thống, tập. 36, số 2, trang 254-276, 1988.