Kiểm tra tài sản trong các số liệu khác?

Có một tài liệu lớn về "kiểm tra thuộc tính" - vấn đề tạo một số lượng nhỏ các truy vấn hộp đen cho một hàm$f\colon\{0,1\}^n \to R$ để phân biệt giữa hai trường hợp:

1. $f$ là thành viên của một số lớp hàm$\mathcal{C}$

2. ε $f$ là -far từ mọi hàm trong lớp .$\varepsilon$$\mathcal{C}$

Phạm vi của hàm đôi khi là Boolean: , nhưng không phải lúc nào cũng vậy.R = { 0 , 1 $R$$R = \{0,1\}$

Ở đây, -far thường được hiểu là khoảng cách Hamming: phần các điểm của sẽ cần phải thay đổi để đặt vào lớp . Đây là một số liệu tự nhiên nếu có phạm vi Boolean, nhưng có vẻ ít tự nhiên hơn nếu phạm vi được cho là có giá trị thực.f f C$\varepsilon$$f$$f$$\mathcal{C}$$f$

Câu hỏi của tôi: có tồn tại một chuỗi các tài liệu kiểm tra thuộc tính kiểm tra sự gần gũi với một số lớp đối với các số liệu khác không?$\mathcal{C}$

Có, có! Tôi sẽ đưa ra ba ví dụ:

1. Cho một tập hợp S và một "bảng nhân" trên S x S, hãy xem xét vấn đề xác định xem đầu vào có mô tả một nhóm abelian hay liệu nó có cách xa một nhóm không. Friedl, Ivanyos và Santha trong STOC '05 đã chỉ ra rằng có một trình kiểm tra thuộc tính với polylog độ phức tạp truy vấn (| S |) khi đo khoảng cách đối với khoảng cách chỉnh sửa của các bảng nhân cho phép thêm và xóa các hàng và cột từ bảng nhân. Vấn đề tương tự cũng được xem xét trong mô hình khoảng cách Hamming của Ergun, Kannan, Kumar, Rubinfeld và Viswanathan (JCSS '00) khi chúng cho thấy độ phức tạp truy vấn của O ~ (| S | ^ {3/2}).

2. Có một số lượng lớn công việc được thực hiện trên các thuộc tính biểu đồ kiểm tra trong đó các biểu đồ được biểu diễn bằng danh sách kề và có giới hạn về mức độ của từng đỉnh. Trong trường hợp này, mô hình khoảng cách không chính xác là khoảng cách Hamming mà là có thể thêm hoặc xóa bao nhiêu cạnh trong khi duy trì mức độ giới hạn.

3. Trong nghiên cứu liên quan chặt chẽ về các thuộc tính thử nghiệm của các bản phân phối, các khái niệm khác nhau về khoảng cách giữa các bản phân phối đã được nghiên cứu. Trong mô hình này, đầu vào là phân phối xác suất trên một số tập hợp và thuật toán được truy cập vào nó bằng cách lấy mẫu từ tập hợp theo phân phối chưa biết. Thuật toán sau đó được yêu cầu để xác định xem phân phối có thỏa mãn một số thuộc tính hay "cách xa" nó. Các khái niệm khác nhau về khoảng cách đã được nghiên cứu ở đây, chẳng hạn như L_1, L_2, động đất. Phân phối xác suất trên các miền vô hạn cũng đã được nghiên cứu ở đây ( Adamaszek-Czumaj-Sohler, SODA '10 ).

Nó thường không được gọi là kiểm tra thuộc tính (và thực sự không phải vậy), nhưng có một khối lượng lớn công việc về việc quyết định các thuộc tính của ma trận bằng cách xem xét một thứ yếu nhỏ gây ra. Điều này rất giống với mục tiêu trong thử nghiệm tài sản. Xem ví dụ bài báo của Rudelson và Vershynin:

http://portal.acm.org/cites.cfm?id=1255449

Có những bài báo trước đó của Frieze-Kannan. Vấn đề là thông thường số liệu họ sử dụng là một số chỉ tiêu ma trận như định mức phổ, định mức frobenius hoặc định mức cắt. Nếu bạn muốn, bạn có thể nghĩ về một số kết quả này như các thuật toán kiểm tra thuộc tính trong một số liệu khác với khoảng cách Hamming.

$f\colon [n]^d\to \mathbb{R}$$L_p$$p\geq 1$$L_p$

$L_p$

$L_1$$L_1$$L_1$$n$$1$

$L_p$ . Berman, Raskhodnikova, và Yaroslavtsev, STOC'14.

$k$