Khi đa thức GI ngụ ý GI đa thức (cạnh) có màu GI?

Crossposted từ MO .

(cạnh) đồ thị đẳng hình màu là GI bảo toàn màu sắc (của các cạnh nếu nó có màu cạnh).

Có một số cách giảm bằng cách sử dụng các phép biến đổi / tiện ích của (cạnh) có màu GI thành GI. Đối với GI màu cạnh đơn giản nhất là thay thế cạnh màu bằng tiện ích bảo quản GI mã hóa màu sắc (chia cạnh đủ số lần là trường hợp đơn giản nhất). Đối với GI màu đỉnh, đính kèm một số tiện ích vào một đỉnh.

Giả sử GI là đa thức cho một số lớp đồ thị .$C$

Q1 mà đa thức GI ngụ ý GI đa thức (cạnh) có màu GI?$C$

Sử dụng một giảm với các tiện ích có thể làm cho các đồ thị phải là thành viên của .$C$

Mặt khác, các tiện ích / phép biến đổi nhất định có thể làm cho các thành viên đồ thị của một số lớp GI đa thức khác.

Ví dụ về giảm màu cạnh .$G \to G'$

Tạo một cụm của . Các cạnh màu trong với và các cạnh không có . Đây là chức năng tô màu bảo toàn và để phục hồi từ chỉ cần lấy các cạnh được tô màu . là clique, cograph, đồ thị hoán vị và gần như chắc chắn trong nhiều lớp tốt đẹp khác. Chia các cạnh số lần lẻ (phân biệt cho loại bỏ màu sắc và tạo đồ thị lưỡng cực hoàn hảo , bảo toàn đẳng cấu).E ( G ) 1 0 G G G ' 1 G ' 0 , 1 G $V(G)$$E(G)$$1$$0$$G$$G$$G'$$1$$G'$$0,1$$G'$

Có thể một cách tiếp cận khác là lấy biểu đồ đường của và thêm các đỉnh mặt dây (vạn năng) được kết nối với các đỉnh tương ứng với . E ( G '$G'$$E(G')$

Câu hỏi 2 Có tiện ích / biến đổi đẹp nào cho các công trình tương tự không?

Suy nghĩ về việc làm phẳng bằng cách chọn một số bản vẽ phổ biến của cụm và thay thế cạnh chéo bằng các tiện ích phẳng bảo toàn màu sắc nói cho các màu bằng nhau và một số thứ khác cho các màu khác biệt. Không biết nếu điều này bảo tồn đẳng cấu.C 4 , C $G'$$C_4,C_6$

Một cách tiếp cận khả thi khác có thể là tự động hóa bảo toàn màu hoặc chia nhỏ mọi cạnh của , sử dụng 3 màu cho các đỉnh và cố gắng tự nhận đồ thị bổ sung bằng cách tự động hóa trao đổi và .0 , 1 , 2 V ( G ) , E ( G ) , E ( ¯ G ) E ( G ) E ( ¯ G$K_n$${0,1,2}$$V(G),E(G),E(\overline{G})$$E(G)$$E(\overline{G})$

Câu 3 Có phải nhóm tự động hóa của phân chia có thể tính toán được không?$K_n$

Các đơn đặt hàng sau một vài điều khoản ban đầu là là A052565$12 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880$

Dima cho thấy điều này có thể dễ dàng cho đủ lớn và các điều khoản ban đầu là ngoại lệ.$n$

Câu 4 Cho phân chia màu của đỉnh cho và nhóm tự động hóa của nó trong đó các đỉnh bậc cao có màu , một số độ là và là , độ phức tạp để tìm biến đổi tự động trao đổi và gì? n > 4 0 2 1 2 1 $K_n$$n > 4$$0$$2$$1$$2$$1$$2$

Đã thêm Báo cáo về Nhận dạng đồ thị Cayley p 86 :

Đưa ra một biểu đồ lớp C của Cayley và đưa ra biểu đồ có cạnh G gồm n đỉnh và m cạnh, chúng tôi quan tâm đến vấn đề kiểm tra xem có tồn tại đẳng cấu không bảo toàn các màu sao cho G đẳng hình bằng φ cho đồ thị trong C được tô màu bởi các phần tử của tập hợp tạo của nó. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra thuật toán thời gian O (m log n) để kiểm tra xem G có phải là màu đẳng hình với đồ thị của Cayley hay không.

Điều này xuất hiện gần với câu hỏi, nó có liên quan?

Câu 2: một ví dụ hay là tiện ích ghi nhãn biểu đồ được sử dụng để chứng minh rằng:

Định lý : phẳng 3 màu kết nối GI phẳng 3 kết nối GI$\leq_T^L$

Xem Thomas Thierauf, Fabian Wagner: Vấn đề đẳng cấu đối với đồ thị 3 mặt phẳng được kết nối trong không gian logistic rõ ràng. Tính toán lý thuyết. Hệ thống. 47 (3): 655-673 (2010)

"Tiện ích ghi nhãn" được sử dụng bảo tồn các ràng buộc 3 kết nối và phẳng.

Câu trả lời một phần, không hiểu đủ lý thuyết nhóm, nhưng hai bài báo xuất hiện để cho kết quả một phần.

$G \to G'$

$V(G)$$e \in E(G')$$1$$e \in E(G)$$0$$G$$G'$$1$

$G \cong H \iff G' \cong H'$

$G'$

Giấy này tuyên bố:

$O(n^2 (\log n)^6 )$$n$

Định nghĩa chính xác của "màu sắc cạnh" đối với tôi không rõ ràng.

Giấy chứng minh tuần hoàn GI là đa thức trong phần chú thích về tuyên bố p.1:

Theo một biểu đồ, chúng tôi muốn nói đến một biểu đồ thông thường, một biểu đồ hoặc thậm chí là một biểu đồ màu cạnh

Đã hỏi trên MO những hạn chế cho các màu.