XOR automata (NXA) cho các ngôn ngữ hữu hạn có được lợi từ các chu kỳ không?

Một Xor automata không xác định (NXA) về mặt cú pháp là một NFA, nhưng một từ được cho là được chấp nhận bởi NXA nếu nó có số lượng đường dẫn chấp nhận lẻ (thay vì ít nhất một đường dẫn chấp nhận trong trường hợp NFA).

Dễ dàng thấy rằng đối với ngôn ngữ thông thường hữu hạn $L$ , tồn tại một NFA tối thiểu không chứa bất kỳ chu kỳ nào (nếu một chu kỳ có thể truy cập được từ trạng thái ban đầu và bạn chuyển từ trạng thái đó sang trạng thái chấp nhận - ngôn ngữ của bạn không có hạn).

Điều này không nhất thiết là trường hợp của NXAs.

Biểu thị bằng $xsc(L)$ là phức tạp xor-state của một ngôn ngữ $L$ ,

và bởi $axsc(L)$ là phức tạp tình trạng xor mạch hở của $L$ (tức là kích thước của một NXA mạch hở nhỏ nhất mà chấp nhận $L$ ).

Có đúng không với mọi ngôn ngữ hữu hạn : a x s c ( L ) = x s c ( L $L$

$$axsc(L)=xsc(L)\ ?$$

Tôi nghĩ rằng câu trả lời là khẳng định. Có thể có một bằng chứng đơn giản hơn, nhưng đây là một bản phác thảo của một bằng chứng sử dụng đại số tuyến tính.

Giống như domotorp, chúng ta sẽ xem cấu hình của máy tự động XOR n -state dưới dạng vectơ trong V = GF (2) ⁿ .

Đặt L là ngôn ngữ hữu hạn trong bảng chữ cái = {1, Mạnh , k } và xem xét một máy tự động XOR cho L với số lượng trạng thái tối thiểu. Gọi n là số trạng thái. Chúng tôi giả định rằng các trạng thái được gắn nhãn 1, Nhận, n và trạng thái 1 là trạng thái ban đầu.

Đầu tiên chúng tôi thiết lập ký hiệu. Đặt v ₀ = (1, 0, Mạnh, 0) ^T ∈ V là vectơ cơ bản tương ứng với trạng thái ban đầu và để là vectơ hàng có mục nhập thứ i là 1 khi và chỉ khi trạng thái i là trạng thái chấp nhận. Không gian con R = { v : s v = 0} của V tương ứng với các vectơ cấu hình bị từ chối.

Đối với mỗi một ∈Σ, chúng ta hãy Một _một là n × n ma trận trên GF (2) đại diện cho quá trình chuyển đổi gây ra bởi lá thư một . Ví dụ, vectơ cấu hình sau khi đọc chuỗi đầu vào a b là A _b A _a v ₀ . Đối với một chuỗi σ = một ₁ ... một _t , chúng ta ký hiệu sản phẩm Một _{một t} ... Một _{một 1} bởi M ( σ ). Đặt S = { A ₁, Lọ, A _k }.

Một không gian con W của V được gọi là S - bất biến khi Một W ⊆ W cho mỗi Một ∈ S . Trong ngữ cảnh của chúng tôi, điều này có nghĩa là một khi vectơ cấu hình đi vào W , không có cách nào thoát khỏi W bằng cách đọc thêm các chữ cái.

Vì máy tự động XOR này có số lượng trạng thái tối thiểu, chúng tôi có các thuộc tính sau.

• Không gian con S -invariant duy nhất của V chứa v ₀ là chính V. Điều này là bởi vì nếu W là không gian con S -invariant thích hợp chứa v ₀ , thì chúng ta có thể sử dụng W thay cho V , mâu thuẫn với mức tối thiểu.
• Không gian con S -invariant duy nhất có trong R là {0}. Điều này là bởi vì nếu W là một người không tầm thường gian con S -invariant không có trong R , thì chúng ta có thể sử dụng không gian vectơ thương số V / W thay cho V , một lần nữa mâu thuẫn với mức tối thiểu.

Bởi vì L là hữu hạn, chúng ta hãy m là một số nguyên lớn hơn độ dài của bất kỳ chuỗi trong L .

Bổ đề 1 . Đối với bất kỳ chuỗi σ có độ dài ít nhất m , ta có M ( σ ) = 0.

Bằng chứng. Đầu tiên chúng tôi chứng minh rằng đối với bất kỳ chuỗi σ có độ dài ít nhất m , ta có M ( σ ) v ₀ = 0. Hãy W là không gian con của V kéo dài bởi { M ( σ ) v ₀ : σ là một chuỗi có độ dài ít nhất m }. Theo định nghĩa, W là S -invariant. Bởi vì automaton XOR trong câu hỏi từ chối những chuỗi σ , W được chứa trong R . Do đó W = {0}, có nghĩa làM ( σ) v ₀ = 0 cho tất cả các chuỗi như vậy σ .

Bây giờ xem xét bất kỳ vector v ∈ V . Bởi vì chỉ có S không gian con -invariant của V có chứa v ₀ là V chính nó, v có thể được viết như một sự kết hợp tuyến tính của các vectơ có dạng M ( τ ) v ₀ đối với một số chuỗi τ . Bởi vì M ( σ ) M ( τ ) v ₀ = M ( τ σ ) v ₀= 0 (đẳng thức sau theo sau đoạn trước vì độ dài của τ σ ít nhất là m ), nó giữ M ( σ ) v = 0. ■

Chúng ta cần thêm một thực tế từ đại số tuyến tính.

Bổ đề 2 . Hãy Một ₁ , ..., A _k có n × n ma trận trên một lĩnh vực, và xác định M ( σ ) như trên. Nếu có m ≥0 mà M ( σ ) = 0 cho mỗi chuỗi σ có độ dài ít nhất m , thì ma trận A ₁ , ..., A _k là đồng thời tương tự như đúng ma trận tam giác thấp hơn (có nghĩa là, có tồn tại một n × n ma trận không tính toán P sao cho các ma trận P ¹ A₁ P , Quang, P ¹ A _k P là tam giác dưới hoàn toàn).

Trường hợp k = 1 là một đặc tính nổi tiếng của ma trận nilpotent và Bổ đề 2 có thể được chứng minh theo cách tương tự.

Bây giờ hãy xem xét máy tự động XOR n -state trong đó ma trận chuyển tiếp tương ứng với ký hiệu a được cho bởi P ¹ A _a P , vectơ cấu hình ban đầu được cho bởi P ¹ v ₀ và vectơ đặc trưng (hàng) của các quốc gia chấp nhận được cho bởi s P . Bằng cách xây dựng, máy tự động XOR này chấp nhận cùng ngôn ngữ L. Do các ma trận chuyển tiếp có hình tam giác thấp hơn hoàn toàn, nên mọi cạnh chuyển tiếp trong thiết bị tự động XOR này đi từ trạng thái có chỉ số nhỏ hơn sang trạng thái có chỉ số lớn hơn và do đó, thiết bị tự động XOR này có tính chu kỳ. Mặc dù vectơ cấu hình ban đầu có thể có nhiều hơn 1 giây, nhưng thật dễ dàng để chuyển đổi tự động XOR này sang tự động XOR thông thường với một trạng thái ban đầu duy nhất cho cùng một ngôn ngữ mà không làm tăng số lượng trạng thái hoặc làm hỏng tính chu kỳ.

Tôi nghĩ rằng tôi có thể chứng minh rằng các chu kỳ không giúp ích gì cho bảng chữ cái đơn nhất.

$M$$F_2$$v_n$$F_2$$\mod 2$$n$$v_n=M^nv_0$$v_0=(1,0,..,0)$$t$$s\cdot v=0$$s$$M^n$$s\cdot v_n=0$