Sự thỏa mãn đơn hàng đầu tiên không có mô hình hữu hạn

Chúng ta biết từ định lý của Church rằng việc xác định mức độ thỏa mãn của đơn hàng đầu tiên là không thể giải quyết được, nhưng có một số kỹ thuật chúng ta có thể sử dụng để xác định mức độ thỏa mãn của đơn hàng đầu tiên. Rõ ràng nhất là tìm kiếm một mô hình hữu hạn. Tuy nhiên, có một số câu lệnh theo logic thứ tự đầu tiên mà chúng ta có thể chứng minh không có mô hình hữu hạn. Chẳng hạn, bất kỳ miền nào trong đó hàm tiêm và hàm không hoạt động là vô hạn.

Làm thế nào để chúng tôi chứng minh sự thỏa đáng cho các tuyên bố thứ tự đầu tiên khi không có mô hình hữu hạn hoặc sự tồn tại của mô hình hữu hạn là không xác định? Trong định lý tự động chứng minh chúng ta có thể xác định sự thỏa mãn theo nhiều cách:

1. Chúng ta có thể phủ định câu và tìm kiếm một mâu thuẫn. Nếu một trong những được tìm thấy, chúng tôi chứng minh tính hợp lệ thứ tự đầu tiên của tuyên bố và do đó thỏa đáng.
2. Chúng tôi sử dụng bão hòa với độ phân giải và hết suy luận. Thường xuyên hơn không, chúng ta sẽ có vô số suy luận để thực hiện, vì vậy điều này không đáng tin cậy.
3. Chúng ta có thể sử dụng cưỡng bức, giả định sự tồn tại của một mô hình và cả tính nhất quán của lý thuyết.

Tôi không biết có ai thực hiện việc ép buộc như một kỹ thuật cơ giới hóa cho định lý tự động chứng minh, và nó có vẻ không dễ dàng, nhưng tôi quan tâm nếu nó được thực hiện hoặc cố gắng, vì nó được sử dụng để chứng minh tính độc lập cho một số tuyên bố trong lý thuyết tập hợp, bản thân nó không có mô hình hữu hạn.

Có các kỹ thuật khác được biết đến để tìm kiếm sự thỏa mãn đơn hàng đầu tiên có thể áp dụng cho lý luận tự động hoặc có ai đã làm việc trên một thuật toán buộc tự động không?

Đây là một cách tiếp cận thú vị của Brock-Nannestad và Schürmann:

Trừu tượng đơn điệu thực sự

Ý tưởng là cố gắng dịch các câu thứ nhất thành logic thứ nhất đơn âm , bằng cách "quên" một số đối số. Chắc chắn bản dịch chưa hoàn chỉnh : có một số câu nhất quán trở nên không nhất quán sau khi dịch.

Tuy nhiên, logic thứ tự đơn đầu tiên là có thể quyết định . Do đó, người ta có thể xác minh xem bản dịch của công thức F có phù hợp không:$\overline F$$F$

có thể được kiểm tra bằng thủ tục quyết định và ngụ ý

Điều này ngụ ý rằng có một mô hình, theo định lý hoàn chỉnh.$F$

Chủ đề này có thể áp dụng phần nào chung hơn: xác định logic phụ có thể quyết định cho vấn đề của bạn, sau đó dịch vấn đề của bạn sang vấn đề đó, theo cách bảo tồn sự thật. Đặc biệt, các bộ giải hiện đại của SMT như Z3 đã đạt được hiệu quả đáng kinh ngạc khi chứng minh sự thỏa mãn của các công thức với các bộ lượng hóa (theo mặc định , nhưng có thể hoạt động tốt trên các công thức ).$\Sigma^0_1$$\Pi^0_2$

Hiện tại, việc ép buộc dường như nằm ngoài tầm với của các phương pháp tự động.