Kích thước tối thiểu của một mạch tính PARITY là gì?

Đó là một kết quả kinh điển mà mỗi mạch trong 2 AND-OR-NOT tính toán PARITY từ các biến đầu vào có kích thước ít nhất là và điều này là sắc nét. (Chúng tôi xác định kích thước là số lượng cổng AND và OR.) Bằng chứng là bằng cách loại bỏ cổng và dường như không thành công nếu chúng tôi cho phép sử dụng quạt tùy ý. Những gì được biết đến cho trường hợp này?$3(n-1)$

Cụ thể, có ai biết một ví dụ khi quạt lớn hơn giúp, nghĩa là chúng ta cần ít hơn cổng không?$3(n-1)$

Cập nhật ngày 18 tháng 10. Marzio đã chỉ ra rằng với thậm chí 5 cổng đủ bằng cách sử dụng hình thức PARITY của CNF. Điều này có nghĩa một ràng buộc của ⌊ $n=3$$5$chonchung. Bạn có thể làm tốt hơn không?$\lfloor \frac 52 n \rfloor-2$$n$

Có thể tính toán chẵn lẻ chỉ bằng các cổng 2,33n + C. Việc xây dựng khá đơn giản và được đưa ra trong bài viết này.

http://link.springer.com/article/10.3103/S0027132215050083

Dưới đây là một ví dụ về mạch tương đương 6 biến chỉ sử dụng 12 cổng (mỗi cổng là cổng AND, một vòng tròn gần đầu vào của cổng có nghĩa là đầu vào này bị đảo ngược). Lưu ý rằng một mạch cho tính chẵn lẻ của 6 biến được xây dựng bằng cách xếp chồng các khối DNF (như trong giới hạn trên của Marzio) bao gồm 13 cổng.

Tôi đã kiểm tra rằng với kích thước n = 2,3,4,5,6 của các mạch tối ưu là 3,5,8,10,12. Các giá trị này cũng là kích thước của các mạch cho giới hạn trên 2,33n. Tôi vẫn không biết nếu 2,33n là kích thước của mạch tối ưu cho mọi n. Thậm chí, tôi không biết kích thước của mạch tối ưu cho tương đương 7 biến (có hai giá trị có thể là 14 và 15).

Giới hạn dưới cổng này không khớp với giới hạn trên của Marzio, nhưng đó là một sự khởi đầu.

Đề xuất: Mỗi chẵn lẻ điện toán mạch liên kết giữa AND / OR / NOT trên biến chứa ít nhất 2 cổng n - 1 AND và OR.$n\ge2$$2n-1$

Để thuận tiện, tôi sẽ sử dụng một mô hình trong đó các cổng duy nhất là cổng AND, nhưng chúng tôi cho phép các dây âm. Dễ dàng thấy rằng cổng là cần thiết cho n = 2 , do đó đủ để chứng minh rằng nếu C là một phép tính toán mạch kích thước tối thiểu trên n > 2 biến, chúng ta có thể tìm thấy một hạn chế của một biến số giết chết ít nhất hai cổng.$3$$n=2$$C$$n>2$

$x_i$$0$

$a$$a=x_1\land x_2\land\cdots$$x_1=0$$a=0$$C'$$x_2$$x_2$$b=\neg x_2\land c_1\land\dots\land c_r$$C'$$c_j$$x_2$$x_3,\dots,x_n$$x_1=0$$c_j$$x_2$$\neg x_2$$C'$$c_j$$1$$b$$\neg x_2$$a$

$2n-1$$\lfloor\frac52n\rfloor-2$

[1] Ingo Wegener, Độ phức tạp của chức năng chẵn lẻ trong các mạch quạt không giới hạn, không giới hạn , Khoa học máy tính lý thuyết 85 (1991), không. 1, trang 155 Tiếng170. http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(91)90052-4

Tôi mở rộng nhận xét của mình:

$k$$k-1$$I_i \geq 2$$g_i$

$3(n-1)$$(x_1,x_2,x_3)$

$5n/2$

Nếu có một nghĩa đen với 3 cha mẹ, chúng ta có thể loại bỏ cả 3 với một biến.

Nếu hai chữ xuất hiện cùng nhau ở 2 cổng khác nhau, chúng ta có thể áp dụng đối số chính từ câu trả lời của Emil, một lần nữa loại bỏ 3 cổng với một biến.