Phân loại so sánh ngẫu nhiên tối ưu

Vì vậy, tất cả chúng ta đều biết cây so sánh giới hạn dưới của về số lượng so sánh trong trường hợp xấu nhất được thực hiện bởi thuật toán sắp xếp so sánh (xác định). Nó không áp dụng cho sắp xếp so sánh ngẫu nhiên (nếu chúng ta đo các so sánh dự kiến cho trường hợp xấu nhất). Ví dụ, với , giới hạn dưới xác định là năm so sánh, nhưng thuật toán ngẫu nhiên (hoán vị ngẫu nhiên đầu vào và sau đó áp dụng sắp xếp hợp nhất) sẽ tốt hơn, có so sánh so với tất cả các đầu vào . $\lceil\log_2 n!\rceil$ $n=4$ $4\frac{2}{3}$

Cácbị ràng buộc mà không có trần vẫn áp dụng trong trường hợp ngẫu nhiên, bởi một đối số lý thuyết thông tin và nó có thể được thắt chặt một chút để Điều này xảy ra bởi vì có một thuật toán tối ưu cho phép ngẫu nhiên đầu vào và sau đó áp dụng cây quyết định (xác định) và cây quyết định tốt nhất (nếu nó tồn tại) là một trong đó tất cả các lá đều ở hai cấp độ liên tiếp. $\log_2 n!$

k + \frac{2 (n! - 2^{k})}{n!}, where k = ⌊ \log_{2} n! ⌋ .

$k+\frac{2(n!-2^k)}{n!} \text{, where } k=\lfloor\log_2 n!\rfloor.$

Điều gì nếu có bất cứ điều gì được biết về giới hạn trên cho vấn đề này? Đối với tất cả , số lượng so sánh ngẫu nhiên (theo kỳ vọng, đối với đầu vào trường hợp xấu nhất, đối với thuật toán tốt nhất có thể) luôn luôn tốt hơn thuật toán xác định tốt nhất (về cơ bản, bởi vì bao giờ là lũy thừa của hai) . Nhưng tốt hơn bao nhiêu? $n>2$ $n!$

ds.algorithms reference-request sorting

— David Eppstein
nguồn

Có một thuật toán ngẫu nhiên với số lượng so sánh dự kiến; xem câu trả lời của tôi ở đây

l g (n!) + o (n)

$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$

— Dmytro Taranovsky

Vì câu hỏi của bạn là: "Cái gì được biết?" Đây là một cái gì đó:

http://arxiv.org/abs/1307.3033

Điều này đưa ra phân tích trường hợp trung bình của Thuật toán Ford-Johnson. Số lượng so sánh dự kiến là cho hằng số nhỏ đáng ngạc nhiên (khoảng 0,05). $\log n! +cn$ $c$

— Pat Morin
nguồn

Pat: có lẽ bạn có thể giải thích cho tôi tại sao phân tích này hữu ích. Phân tích ban đầu cho thấy số trường hợp so sánh tồi tệ nhất là . Điều này cho thấy số lượng so sánh dự kiến là . Tôi có bối rối không? Có vẻ như trường hợp xấu nhất bị ràng buộc là tốt hơn so với ràng buộc dự kiến. Nhưng các tác giả nêu trường hợp xấu nhất bị ràng buộc và sau đó đi đến một số nỗ lực để chứng minh rằng trường hợp trung bình bị ràng buộc có hằng số chặt chẽ hơn. Họ đã nêu điều gì sai?

n \log n - 1.415 n

$n\log n-1.415n$

n \log n - 1.399 n

$n\log n-1.399n$

— David Eppstein

Tôi không phải là chuyên gia, lý do duy nhất tôi biết về bất kỳ điều gì trong số này là John Iacono. Tuy nhiên, tôi nghĩ rằng nó phải thực hiện với các dao động dựa trên mức độ gần n (4/3 lần) sức mạnh của 2. Nếu bạn xem phân tích trên trang 71 ở đây, link.springer.com/content/pdf /10.1007%2FBF01934989.pdf , giới hạn -1.415n dường như chỉ giữ khi n = floor ((4/3) 2 ^ k) cho một số nguyên k. Có lẽ -1.329n bị ràng buộc trong Knuth là tốt nhất cho tất cả n?

— Pat Morin

Chắc chắn có biến động nhưng tôi nghĩ (4/3) 2 ^ k là trường hợp xấu nhất và tốt hơn cho các trường hợp khác.

— David Eppstein