Nếu P = BQP, điều này có nghĩa là PSPACE (= IP) = AM?

Gần đây, Watrous et al đã chứng minh rằng QIP (3) = PSPACE là một kết quả đáng chú ý. Đây là một kết quả đáng ngạc nhiên với bản thân tôi để nói ít nhất và nó làm tôi suy nghĩ ...

Tôi tự hỏi điều gì sẽ xảy ra nếu Máy tính lượng tử có thể được mô phỏng hiệu quả bởi Máy tính cổ điển. Đây có thể là SIMPLY liên quan đến Phân chia giữa IP và AM không? Ý tôi là IP được đặc trưng bởi số vòng tương tác cổ điển, trong khi AM có 2 vòng tương tác cổ điển. Có thể mô phỏng Máy tính lượng tử làm giảm lượng tương tác cho IP từ đa thức xuống giá trị không đổi?

Câu hỏi tuyệt vời! Câu trả lời ngắn: không có hàm ý như được biết đến; nhưng điều đó không có nghĩa là không đáng để cố chứng minh ...

Tuy nhiên, tôi sẽ nói rằng việc tìm kiếm một hàm ý như vậy dường như là không thể. Tôi nghĩ thông điệp của lý thuyết phức tạp lượng tử là ở chỗ, trong khi máy tính lượng tử không phải là thuốc chữa bách bệnh toàn năng để giải quyết các vấn đề khó khăn, chúng có thể mạnh hơn nhiều so với máy tính cổ điển trong một số trường hợp cụ thể.

Ví dụ, trong độ phức tạp của truy vấn, các thuật toán lượng tử có thể giải quyết một cách hiệu quả một số vấn đề cổ điển có thể chứng minh là không thể, khi đầu vào được hứa hẹn sẽ tuân theo một số cấu trúc toàn cầu tốt đẹp. Ví dụ, thuật toán của Shor dựa trên một thuật toán để nhanh chóng tìm ra khoảng thời gian chưa biết của hàm được hứa hẹn là định kỳ. Mặt khác, các thuật toán truy vấn lượng tử không quá mạnh so với các thuật toán cổ điển để giải quyết các vấn đề trong đó không có cấu trúc đặc biệt nào được giả định trên đầu vào. (Xem khảo sát của Buhrman và de Wolf về độ phức tạp của truy vấn cho điểm cuối cùng này.)

Tương tự, tôi nghĩ rằng kết quả cho chúng tôi biết, không phải sự tương tác đó là yếu bất ngờ (ngay cả khi ) , nhưng tính toán lượng tử đó mạnh đến không ngờ, đặc biệt là trong bối cảnh tương tác với các provers không tính toán.$\mathsf{QIP}(3) = \mathsf{QIP} = \mathsf{IP}$$\mathsf{P} = \mathsf{BQP}$

Tôi đồng ý với những gì Andy đã viết và tôi muốn "câu trả lời" này là một nhận xét cho câu trả lời của anh ấy, nhưng rõ ràng là quá dài cho một bình luận ...

Dù sao, có thể hữu ích để nói thêm về khía cạnh của tính toán lượng tử (hoặc có lẽ là thông tin lượng tử) cho phép ngăn chặn PSPACE trong QIP (3). Các bằng chứng đã biết về ngăn chặn này không xuất phát từ khả năng của người xác minh để tính toán các hàm xảy ra là tính toán thời gian đa thức lượng tử. Một lời giải thích chính xác hơn là các bằng chứng sử dụng các cách thức cụ thể mà một người hoạt ngôn có thể thao túng các trạng thái lượng tử vướng víu mà nó chia sẻ với người xác minh. Nếu người hoạt ngôn không thể thao túng thông tin lượng tử, hoặc nếu bằng cách nào đó có thể điều khiển một cách kỳ diệu các trạng thái vướng mắc chia sẻ theo cách mạnh mẽ hơn lý thuyết thông tin lượng tử cho phép, thì bằng chứng sẽ không hoạt động.

Vì vậy, theo quan điểm của tôi, việc ngăn chặn PSPACE trong QIP (3) không nói gì về mối quan hệ giữa AM và PSPACE.

Câu trả lời của John Watrous và Andy Drucker là tuyệt vời để hiểu một số vấn đề liên quan.

$P = BQP$$PH$$PSPACE \supseteq PH \supset\neq AM$

$IP = PSPACE$

[1] L. Fortnow và J. Rogers. Giới hạn phức tạp về tính toán lượng tử . Tạp chí Khoa học Máy tính và Hệ thống, 59 (2): 240-252, 1999. Vấn đề đặc biệt đối với các bài báo được chọn từ Hội nghị IEEE lần thứ 13 về Độ phức tạp tính toán. Cũng có sẵn ở đây .

Các câu trả lời khác là tuyệt vời và điều này không có nghĩa là thay thế hoặc mâu thuẫn với bất kỳ câu hỏi nào, chỉ đơn thuần là đưa ra một số trực giác về lý do tại sao P = BQP không nhất thiết ngụ ý sự bình đẳng giữa các hệ thống chứng minh tương tác lượng tử và cổ điển (đối với các vòng cố định, v.v.). Tuy nhiên, hiện tại chúng tôi biết rằng QIP = IP nhờ vào công việc của Jain, Ji, Upadhyay và Watrous, vì vậy tôi chắc chắn không cố gắng khẳng định rằng sự bình đẳng như vậy không bao giờ xảy ra.

Nếu chúng ta chỉ cho rằng P = BQP thì chúng ta chỉ học được điều gì đó về vấn đề quyết định nào có thể được trả lời bằng các mô hình lượng tử và cổ điển. Nó không giống như ngụ ý rằng các mô hình thực sự giống nhau. Sự khác biệt chính là máy tính lượng tử có thể xử lý các trạng thái trong sự chồng chất, điều đó có nghĩa là đầu vào và đầu ra của chúng không cần phải bị hạn chế ở các trạng thái cổ điển. Đây là một sự khác biệt rất quan trọng giữa các mô hình lượng tử và cổ điển, vì đầu vào / đầu ra lượng tử cho phép truy vấn các phép lạ với sự chồng chất của các trạng thái cổ điển hoặc để truyền đạt các trạng thái lượng tử (có thể có các mô tả cổ điển theo cấp số nhân) giữa người xác minh và người hoạt ngôn. Thật vậy, các nhà tiên tri tồn tại tách BQP khỏi P và giao tiếp lượng tử dẫn đến giảm độ phức tạp truyền thông cho một số vấn đề. Như vậy

Vì lý do này, câu hỏi liệu P = BQP không phải là yếu tố quyết định liệu các mô hình lượng tử và cổ điển có bằng nhau trong các tình huống sử dụng các truy vấn truyền thông / tiên tri hay không.