Ví dụ về sự chuyển pha pha cứng

Giả sử chúng ta có một vấn đề được tham số hóa bởi tham số có giá trị thực p "dễ" giải quyết khi và "cứng" khi p = p 1 cho một số giá trị p 0 , p 1 .$p=p_0$$p=p_1$$p_0$$p_1$

Một ví dụ là đếm cấu hình spin trên biểu đồ. Đếm các màu sắc phù hợp có trọng số, các bộ độc lập, các sơ đồ con Euler tương ứng với các chức năng phân vùng của các mô hình Hard, Potts và Ising, dễ dàng xấp xỉ với "nhiệt độ cao" và khó cho "nhiệt độ thấp". Đối với MCMC đơn giản, quá trình chuyển pha độ cứng tương ứng với điểm tại đó thời gian trộn nhảy từ đa thức sang hàm mũ ( Martineli, 2006 ).

Một ví dụ khác là suy luận trong các mô hình xác suất. Chúng tôi "đơn giản hóa" mô hình đã cho bằng cách lấy kết hợp , p của mô hình đó với mô hình "tất cả các biến là độc lập". Đối với p = 1 , vấn đề là không đáng kể, với p = 0, nó có thể điều chỉnh được và ngưỡng độ cứng nằm ở đâu đó ở giữa. Đối với phương pháp suy luận phổ biến nhất, vấn đề trở nên khó khăn khi phương thức không hội tụ và điểm khi nó xảy ra tương ứng với quá trình chuyển pha (theo nghĩa vật lý) của một phân phối Gibbs nhất định ( Tatikonda, 2002 ).$1-p$$p$$p=1$$p=0$

Các ví dụ thú vị khác về độ cứng "nhảy" khi một số tham số liên tục được thay đổi là gì?

Động lực: để xem các ví dụ về "chiều" độ cứng khác bên cạnh loại biểu đồ hoặc loại logic

Trong xấp xỉ trường hợp xấu nhất tiêu chuẩn, có nhiều ngưỡng sắc nét khi hệ số xấp xỉ thay đổi.

Ví dụ, đối với 3LINE, thỏa mãn nhiều phương trình tuyến tính Boolean đã cho trên 3 biến số, có một thuật toán xấp xỉ gán ngẫu nhiên đơn giản cho xấp xỉ 1/2, nhưng bất kỳ xấp xỉ nào tốt hơn một số t = 1/2 + o (1) khó như SAT chính xác (được phỏng đoán để yêu cầu thời gian theo cấp số nhân).

Tôi không chắc chắn chính xác đây có phải là loại sự cố mà bạn đang tìm kiếm hay không, nhưng quá trình chuyển pha của các vấn đề NP-Complete là một hiện tượng nổi tiếng (hiện tại). Xem các bài viết của Brian Hayes "Không thể không hài lòng" về quá trình chuyển pha 3-SAT và "Vấn đề khó nhất" về chuyển tiếp Giai đoạn phân vùng số, để biết một số bài viết phổ biến về chủ đề này.

Selman và Kirkpatrick lần đầu tiên thể hiện bằng số rằng việc chuyển pha cho 3-SAT là khi tỷ lệ các mệnh đề cho các biến là khoảng 4.3.

Gent và Walsh lần đầu tiên thể hiện bằng số rằng quá trình chuyển pha cho Vấn đề phân vùng số xảy ra khi tỷ lệ bit trên chiều dài danh sách là khoảng 1. Sau đó, điều này đã được chứng minh bằng phân tích của Borgs, Chayes và Pittel .

Nhân viên bán hàng du lịch, Tô màu đồ thị, Chu kỳ Hamilton, trong số những người khác, dường như cũng có các giai đoạn chuyển tiếp để tham số hóa phù hợp cho việc tạo cá thể vấn đề. Tôi nghĩ thật an toàn khi nói rằng mọi người đều cho rằng tất cả các vấn đề NP-Complete thể hiện sự chuyển pha cho một tham số phù hợp.

Liên kết với (một số) mô hình nhiễu cho tính toán lượng tử là giá trị ngưỡng cho mức nhiễu, trên đó các cổng nhiễu có thể được mô phỏng bằng cổng Clifford, do đó các quá trình tính toán lượng tử trở nên mô phỏng hiệu quả. Để bắt đầu, hãy xem Plenio và Virmani, Giới hạn trên về ngưỡng chịu lỗi của các máy tính lượng tử dựa trên Cli ồn ào (arXiv: 0810.4340v1).

Các mô hình có thể giải quyết như thế này thông báo cho chúng tôi về một vấn đề thực tế phổ biến: đối với hệ thống lượng tử vật lý cụ thể tiếp xúc với hồ chứa nhiệt (có thể ở nhiệt độ bằng 0), là các mức tiếng ồn liên quan đến hồ chứa nhiệt bên dưới hoặc trên ngưỡng để mô phỏng hiệu quả với cổ điển tài nguyên? Nếu sau này, thuật toán mô phỏng nào là tối ưu?

$k$$k$$k$

$f(k)$$k$$f(k)$$2^k$$k$$1 \le f(k) < 2^k$

$k$$n$$k$$f(k)/2^k$

$f(k)$$f(k)+1$

• Jan Kratochvíl, Petr Savický và Zsolt Tuza, Thêm một lần xuất hiện các biến làm cho sự hài lòng chuyển từ tầm thường sang NP-Complete , SIAM J. Comput. 22 (1) 203 Điện210 , 1993. doi: 10.1137 / 0222015

$f(k)$$f(k) = \Theta(2^k/k)$

• Heidi Gebauer, Không bảo vệ các phỏng đoán khu phố có liên quan đến SAT , Combinatorica 32 (5) 573 Way587, 2012. doi: 10.1007 / s00493-012-2679-y (bản in trước)
• Heidi Gebauer, Tibor Szabó, Gábor Tardos, Bổ đề địa phương chặt chẽ cho SAT , SODA 2011.