Thư giãn các ràng buộc trong tối ưu hóa

Tôi có một câu hỏi khả thi có thể được đóng khung như sau. Tôi được một điểm trong không gian vector chiều, và tôi muốn tìm điểm gần nhất để thỏa mãn một bộ " hạn chế" của form$p$$d$$q$$p$$\ell_0$

Với một tập hợp , nhiều nhất một trong số có thể là khác không.$S \in [1\ldots d]$$\{q_j, j \in S\}$

Khái niệm về sự gần gũi khác nhau, nhưng bây giờ nó đủ để giả sử một khoảng cách thuận tiện như .$\ell_2^2$

Có bất kỳ sự thư giãn nào được biết đến đối với các ràng buộc tuyến tính là "tốt" theo nghĩa là cung cấp một đa giác "đủ gần" để xấp xỉ các ràng buộc ban đầu, trong đó tôi cũng khá linh hoạt về định nghĩa "đủ gần"

Tôi không chắc chắn nếu tôi hiểu vấn đề một cách chính xác, nhưng như là viết, vấn đề dường như thừa nhận nhiều đơn giản hóa, và đặc biệt là vấn đề trong ℓ ₂ ² trường hợp là tương đương với bìa đỉnh tối thiểu trọng lượng nếu tôi không nhầm.

1. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể cho rằng | S | = 2 trong mọi ràng buộc, bởi vì một ràng buộc với | S |> 2 tương đương với tập các ràng buộc trong đó S chạy trên tất cả các cặp phần tử trong tập S ban đầu . Do đó, các ràng buộc ℓ ₀ có thể được hình dung dưới dạng đồ thị G với các đỉnh d . Sử dụng đồ thị G , những hạn chế có thể được trình bày lại như sau: tập của các đỉnh tương ứng với tọa độ i với q _i = 0 phải là một trang bìa đỉnh của G .
2. Giả sử rằng khoảng cách được xác định bởi ℓ ₂ ² hoặc một số chỉ tiêu. Trong trường hợp này, bất kỳ điểm q nào cũng có thể được chuyển đổi thành điểm q thỏa mãn cho mọi i , q ′ _i ∈ {0, p _i }, chỉ bằng cách đặt và phép biến đổi này không bao giờ tăng khoảng cách từ điểm p . Cụ thể, nếu khoảng cách là tổng khoảng cách tọa độ (như trong trường hợp khoảng cách ℓ ₂ ² ), thì vấn đề hoàn toàn giống với nắp đỉnh có trọng số tối thiểu. $$q'_i = \begin{cases} p_i, & q_i \ne 0, \\ 0, & q_i = 0, \end{cases}$$

Đối với việc thư giãn LP của bài toán che đỉnh, một tìm kiếm nhanh dẫn đến ví dụ như các ghi chú bài giảng (Bài giảng 9) của Uriel Feige .