Biểu diễn hàm boolean bằng đa thức

10

Giả sử chúng ta có hàm boolean từ . Rõ ràng là một đa thức đa biến thực sao cho trên có thể là đa tuyến. Một số lớp thú vị của hàm boolean là mức độ tối thiểu của $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $p(x)$ $f(x)=p(x)$ $x\in\{0,1\}^n$ $p(x)$ đã được biết đến? Chúng ta có ví dụ cụ thể không?

boolean-functions

— T ....
nguồn

2

Liên quan: cstheory.stackexchange.com/questions/25291/

— Andrej Bauer

1

Nếu bạn không quen thuộc với nó, liên quan chặt chẽ là rất nhiều công việc về "mức độ gần đúng", trong đó hỏi, mức độ tối thiểu của một đa thức "xấp xỉ"

gì? Tôi không biết đủ để cung cấp tài liệu tham khảo cụ thể nhưng những người khác sẽ.

f

$f$

— usul

10

$n$

\sum_{x \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{\sum_{i} x_{i}} f (x) \neq 0

$\sum_{x \in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i}f(x) \neq 0$

f

$f$

x_{1} \dots x_{n}

$x_1\cdots x_n$

(- 1)^{x_{i}} = \frac{1 - x_{i}}{2}

$(-1)^{x_i} = \frac{1-x_i}{2}$

f

$f$

\frac{1 - x_{i}}{2}

$\frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} \frac{1 - x_{i}}{2}

$\prod_i \frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} x_{i}

$\prod_i x_i$

$d$ $d2^d$ $d = 1$

— Yuval Filmus
nguồn

Đây là một điểm hữu ích. Một tài liệu tham khảo tốt cho chủ đề này là gì?

— T ....

3

Bạn có thể xem cuốn sách gần đây của Ryan O'Donnell, Phân tích các hàm Boolean.

— Yuval Filmus

0

Các lớp hàm Boolean với cách trình bày đa tuyến độc đáo chứa

Hàm giả Boolean trên thực tế (Định lý 1.34 [1])
$[0,1]^n$

Lý lịch

"Mỗi hàm Boolean có thể được biểu diễn bằng một hình thức bình thường rời rạc và bởi một hình thức bình thường gợi cảm." (Định lý 1.4 (tr.16 [1])

$\vee (\wedge {x} \wedge \bar{x} )$ $\vee (\prod x \prod (1-x))$ $\sum c \prod x$ $F$ $\mathcal B^n$ $\mathcal P(N)$ $\oplus$ $f(x_1,\ldots,x_n)=\oplus_{A\in\mathcal P(N)} c(A)\prod_{i\in A} x_i$

và các ứng dụng của họ chứa

$[0,1]^n$
$[0,1]^n$
(mạch) Độ phức tạp của tính toán đa thức đa tuyến tính Hàm Boolean
(phân tích fourier) Giới hạn thấp hơn cho Đa thức tính toán các hàm boolean

Người giới thiệu

[1] Lý thuyết, thuật toán và ứng dụng hàm Boolean (Yves Crama, Peter L. Hammer, 2011)

— hhh
nguồn

1

Vâng, rõ ràng. Bây giờ, làm thế nào mà trả lời câu hỏi?

— Emil Jeřábek 9/2/2016